Google
Câu hỏi: Số nghiệm của phương trình ${{2}^{{{\log }_{5}}\left( x+3 \right)}}=x$ là
A. 2.
B. 0.
C. 3.
D. 1.
A. 2.
B. 0.
C. 3.
D. 1.
Điều kiện: $x>-3$
Đặt: $t={{\log }_{3}}\left( x+3 \right)\Rightarrow x={{5}^{t}}-3$
Phương trình trở thành ${{2}^{t}}={{5}^{t}}-3\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{t}}+3{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{t}}=1\text{ }\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{t}}+3{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{t}}$ có $f'\left( t \right)={{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{t}}\ln \dfrac{2}{5}+3{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{t}}\ln \dfrac{1}{5}<0,\forall t$ nên hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right).$
Ta lại có $f\left( 1 \right)=1$ nên phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất $t=1.$
Khi đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=2.$
Đặt: $t={{\log }_{3}}\left( x+3 \right)\Rightarrow x={{5}^{t}}-3$
Phương trình trở thành ${{2}^{t}}={{5}^{t}}-3\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{t}}+3{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{t}}=1\text{ }\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{t}}+3{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{t}}$ có $f'\left( t \right)={{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{t}}\ln \dfrac{2}{5}+3{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{t}}\ln \dfrac{1}{5}<0,\forall t$ nên hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right).$
Ta lại có $f\left( 1 \right)=1$ nên phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất $t=1.$
Khi đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=2.$
Đáp án D.