Số giá trị nguyên nhỏ hơn $2020$ của tham số $m$ để phương trình...

Điều kiện có nghĩa: $x>0$
Đặt ${{\log }_{6}}\left( 2020x+m \right)={{\log }_{4}}\left( 1010x \right)=t$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2020x+m={{6}^{t}} \\
& 1010x={{4}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{6}^{t}}-m={{2.4}^{t}}$
$\Leftrightarrow {{6}^{t}}-{{2.4}^{t}}=m$. Xét $f\left( t \right)={{6}^{t}}-{{2.4}^{t}}\Rightarrow f'\left( t \right)=6{}^{t}.\ln 6-{{2.4}^{t}}.\ln 4=0$
Xét $f'\left( t \right)=0$ $\Rightarrow t={{\log }_{\dfrac{3}{2}}}\left( \dfrac{2\ln 4}{\ln 6} \right)={{t}_{0}}$
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên và do $m$ nhận các giá trị nguyên nên $m\ge -2$ phương trình luôn có nghiệm.
Do đó có 2022 giá trị nguyên cần tìm