Số giá trị nguyên nhỏ hơn $2020$ của tham số $m$ để phương trình ${{\log }_{6}}\left( 2020x+m \right)={{\log }_{4}}\left( 1010x \right)$ có...

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& 2020x+m>0 \\
& x>0 \\
\end{aligned} \right.$.
Đặt $t={{\log }_{6}}\left( 2020x+m \right)$ $={{\log }_{4}}\left( 1010x \right)$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2020x+m={{6}^{t}} \\
& 1010x={{4}^{t}} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow m={{6}^{t}}-{{2.4}^{t}}\ \ \left( 1 \right)$.
Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{6}^{t}}-{{2.4}^{t}}$.
${f}'\left( t \right)=$ ${{6}^{t}}.\ln 6-{{2.4}^{t}}.\ln 4$.
${f}'(t)=0$ $\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}=\frac{\ln 16}{\ln 6}$ $\Leftrightarrow t={{\log }_{\frac{3}{2}}}\left( \frac{\ln 16}{\ln 6} \right)$ $={{t}_{0}}$.
Bảng biến thiên:

Điều kiện để phương trình có nghiệm là $m\ge f\left( {{t}_{0}} \right)\approx -2,01$.

Mà $\left\{ \begin{aligned}

& m\in \mathbb{Z} \\

& m<2020 \\

\end{aligned} \right. $ nên $ m\in \left\{ -2;-1;...;2019 \right\}$

Vậy số giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu là $2022$ giá trị.