Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( m-6 \right)x+1$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$ là

Phương pháp:
- Hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( a;b \right)$ khi và chỉ khi $f'\left( x \right)\le 0\forall x\in \left( a;b \right)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
- Sử dụng định lí Vi-ét.
Cách giải:
Ta có: $y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( m-6 \right)x+1\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-2mx+m-6.$
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$ thì $y'\le 0\forall x\in \left( 0;2 \right)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
$\Rightarrow 3{{x}^{2}}-2mx+m-6\le 0\forall x\in \left( 0;2 \right).$
Ta có $\Delta '={{m}^{2}}-3\left( m-6 \right)={{m}^{2}}-3m+18>0\forall m$ nên phương trình $3{{x}^{2}}-2mx+m-6=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}.$ Khi đó ta có $3{{x}^{2}}-2mx+m-6\le 0\Leftrightarrow x\in \left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right).$
Do đó để $3{{x}^{2}}-2mx+m-6\le 0\forall x\in \left( 0;2 \right)$ thì $\left( 0;2 \right)\subset \left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right)\Rightarrow {{x}_{1}}\le 0<2\le {{x}_{2}}.$
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}\le 0<{{x}_{2}} \\
& {{x}_{1}}<2\le {{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}\le 0 \\
& \left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-2 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{m-6}{3}\le 0 \\
& \dfrac{m-6}{3}-2.\dfrac{2m}{3}+4\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 6 \\
& m-6-4m+12\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 6 \\
& -3m+6\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2\le m\le 6$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 2;3;4;5;6 \right\}.$
Vậy có 5 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu.