Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=(m^2-1)x^3+(m-1)x^2-x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là

Phương pháp giải:
Xét 2 TH:
- TH1: $m^2-1=0$, thay m vào hàm số, xét xem hàm số có thỏa mãn nghịch biến trên $\mathbb{R}$ hay không?
- TH2: $m^2-1\ne 0$. Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\le 0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.
+ Tam thức bậc hai $a{x}^2+bx+c\le 0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\iff \{\begin{array}{l}a<0\\ {\mathrm{\Delta }}^{\prime }\le 0\end{array}$.
Giải chi tiết:
TH1: $m^2-1=0\iff m=\pm 1$.
+ Với $m=1\Rightarrow y=-x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ (thỏa mãn).
+ Với $m=-1\Rightarrow y=-2x^2-x$ nghịch biến trên $(-{\displaystyle \frac{1}{4}};+\mathrm{\infty })$ (không thỏa mãn).
TH2: $m^2-1\ne 0\iff m\ne \pm 1$.
Khi đó ta có $y^{\prime }=3(m^2-1)x^2+2(m-1)x-1$.
Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì $y^{\prime }\le 0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$
$\iff 3(m^2-1)x^2+2(m-1)x-1\le 0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$
$\iff \{\begin{array}{l}3(m^2-1)<0\\ {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={(m-1)}^2+3(m^2-1)\le 0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}-1<m<1\\ m^2-2m+1+3m^2-3\le 0\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}-1<m<1\\ 4m^2-2m-2\le 0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}-1<m<1\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}\le m\le 1\end{array}\iff -{\displaystyle \frac{1}{2}}\le m<1$
Kết hợp 2 TH ta có $m\in [-{\displaystyle \frac{1}{2}};1]$. Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{0;1\}$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.