Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}-x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là

Phương pháp giải:
Xét 2 TH:
- TH1: ${{m}^{2}}-1=0$, thay m vào hàm số, xét xem hàm số có thỏa mãn nghịch biến trên $\mathbb{R}$ hay không?
- TH2: ${{m}^{2}}-1\ne 0$. Hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi ${y}'\le 0\forall x\in \mathbb{R}$.
+ Tam thức bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c\le 0\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a<0 \\
{\Delta }'\le 0 \\
\end{array} \right.$.
Giải chi tiết:
TH1: ${{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow m=\pm 1$.
+ Với $m=1\Rightarrow y=-x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ (thỏa mãn).
+ Với $m=-1\Rightarrow y=-2{{x}^{2}}-x$ nghịch biến trên $\left( -\dfrac{1}{4};+\infty \right)$ (không thỏa mãn).
TH2: ${{m}^{2}}-1\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 1$.
Khi đó ta có ${y}'=3\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-1$.
Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì ${y}'\le 0\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow 3\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-1\le 0\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
3\left( {{m}^{2}}-1 \right)<0 \\
{\Delta }'={{\left( m-1 \right)}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)\le 0 \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-1<m<1 \\
{{m}^{2}}-2m+1+3{{m}^{2}}-3\le 0 \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-1<m<1 \\
4{{m}^{2}}-2m-2\le 0 \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-1<m<1 \\
-\dfrac{1}{2}\le m\le 1 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\le m<1$
Kết hợp 2 TH ta có $m\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]$. Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1 \right\}$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.