Số giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình $2+{{\log }_{2}}\left(5{{x}^{2}}-5x+5 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( 7{{x}^{2}}+6x+6+m...

Vì $5{{x}^{2}}-5x+5>0;\forall x\in \mathbb{R}$ nên bất phương trình đã cho tương đương với
${{\log }_{2}}\left( 20{{x}^{2}}-20x+20 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( 7{{x}^{2}}+6x+6+m \right).$
Bất phương trình nghiệm đúng với $\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 7{{x}^{2}}+6x+6+m>0;\forall x\in \mathbb{R} \\
& 20{{x}^{2}}-20x+20\ge 7{{x}^{2}}+6x+6+m;\forall x\in \mathbb{R} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 7{{x}^{2}}+6x+6+m>0;\forall x\in \mathbb{R} \\
& 13{{x}^{2}}-26x+14-m\ge 0;\forall x\in \mathbb{R} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\Delta }_{1}}'=9-7\left( 6+m \right)<0 \\
& {{\Delta }_{2}}'={{\left( -13 \right)}^{2}}-13\left( 14-m \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 7m>-33 \\
& 13m\le 13 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>-\dfrac{33}{7} \\
& m\le 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -\dfrac{33}{7}<m\le 1.$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -4;-3;-2;-1;0;1 \right\}.$ Vậy có 6 giá trị nguyên $m$ cần tìm.