Số giá trị $m$ nguyên, $m\in \left[ -20;20 \right]$, sao cho $\underset{\left[ \dfrac{3}{10}; 1 \right]}{\mathop{\min }} \left| \dfrac{{{\log...

Phương pháp:
Đặt ẩn phụ.
Biến luận tham số $m$ theo ẩn mới.
Cách giải:
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{\log }_{0,3}}{{x}^{m}}+16}{{{\log }_{0,3}}x+m}\left( x>0 \right).$
Đặt $t={{\log }_{0,3}}x,$ với $x\in \left[ \dfrac{3}{10};1 \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;1 \right].$ Khi đó hàm số trở thành $f\left( t \right)=\dfrac{mt+16}{t+m}$ với $t\in \left[ 0;1 \right]$ và $x,t$ ngược tính đơn điệu.
Để tồn tại $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)$ thì $-m\notin \left[ 0;1 \right]\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -m<0 \\
& -m>1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0<m<1.$
Khi đó $P=\left| \dfrac{mt+16}{t+m} \right|=\left| \dfrac{\left( m-16 \right)t}{t+1}+16 \right|$
Đặt $a=\dfrac{t}{t+1}\Rightarrow a\in \left[ 0;\dfrac{1}{2} \right]$
$\Rightarrow P=\left| \left( m-16 \right)a+16 \right|$
Và $MinP=16\Rightarrow $ điều kiện cần là $\left[ \begin{aligned}
& \left( m-16 \right)a+16\ge 16 \\
& \left( m-16 \right)a+16\le -16 \\
\end{aligned} \right.;\forall a\in \left[ 0;\dfrac{1}{2} \right]$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left( m-16 \right)a\ge 0 \\
& \left( m-16 \right)a\le -32\left( l \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\ge 16$
Khi đó $P=\left( m-16 \right)a+16\ge 16$ với dầu bằng xảy ra là $a=0.$
Kết hợp điều kiện ta có $16\le m\le 20\Rightarrow $ có 5 giá trị của $m.$