Số các nghiệm nguyên nhỏ hơn 2019 của bất phương trình...

Phương pháp:
- Biến đổi bất phương trình đã cho, đưa về cùng một biến số qua các công thức về hàm logarit:
$lo{{g}_{a}}x+lo{{g}_{a}}y=lo{{g}_{a}}\left( xy \right),lo{{g}_{a}}~b=\dfrac{1}{{{\log }_{b}}a}$ ​ (giả sử các biểu thức là có nghĩa).
- Giải bất phương trình logarit cơ bản: ${{\log }_{a}}x<b\Leftrightarrow 0<x<{{a}^{b}}\left( 0<a\ne 1 \right),{{\log }_{a}}x<b\Leftrightarrow \left( 0<a<1 \right)$
Cách giải:
TXĐ: $D=\left( 0;+\infty \right)\backslash \left\{ 4 \right\}.~$
Ta có :
$\begin{aligned}
& lo{{g}_{2~}}\left( {{16}^{~}}x \right)+5lo{{g}_{\dfrac{x}{4}}}2\ge ~0 \\
& \Leftrightarrow lo{{g}_{2~}}16+lo{{g}_{2~}}x+\dfrac{5}{lo{{g}_{2~}}\dfrac{x}{4}}\ge 0 \\
& \Leftrightarrow 4+lo{{g}_{2~}}x+\dfrac{5}{lo{{g}_{2~}}x-lo{{g}_{2~}}4}\ge 0 \\
& \Leftrightarrow 4+lo{{g}_{2~}}x+\dfrac{5}{lo{{g}_{2~}}x-2}\ge 0 \\
& \Leftrightarrow \dfrac{\left( lo{{g}_{2}}x+4 \right)\left( lo{{g}_{2}}x-2 \right)+5}{lo{{g}_{2}}x-2}\ge 0 \\
& \Leftrightarrow \dfrac{log_{2}^{2}x+2lo{{g}_{2}}x-3}{lo{{g}_{2}}x-2}\ge 0 \\
& \Leftrightarrow \dfrac{\left( lo{{g}_{2}}x-1 \right)\left( lo{{g}_{2}}x+3 \right)}{\left( lo{{g}_{2}}x-2 \right)}\ge 0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& lo{{g}_{2}}x>2 \\
& -3\le lo{{g}_{2}}x\le 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x>4 \\
& \dfrac{1}{8}\le x\le 2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Suy ra các nghiệm nguyên nhỏ hơn 2019 của BPT đã cho là : S= { 1;2;5;6;7;8;....2018 }, có 2016 phần tử.
Vậy bất phương trình đã cho có 2016 nghiệm nguyên nhỏ hơn 2019 thỏa mãn.