Số các giá trị nguyên của $m\in \left( -2021;2022 \right)$ để...

Đặt $x=\sqrt{{{\log }_{a}}b}\Rightarrow b={{a}^{{{x}^{2}}}}(x>0)$
Khi đó $5.{{a}^{\sqrt{{{\log }_{a}}b}}}-3.{{b}^{\sqrt{{{\log }_{b}}a}}}>m.\sqrt{{{\log }_{a}}b}+2$
$\Leftrightarrow 5.{{a}^{x}}-3.{{\left( {{a}^{{{x}^{2}}}} \right)}^{\dfrac{1}{x}}}>m.x+2$
$\Leftrightarrow 5.{{a}^{x}}-3.{{a}^{x}}>m.x+2$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 5.{{a}^{x}}-3.{{a}^{x}}>m.x+2 \\
& \Leftrightarrow \dfrac{2.{{a}^{x}}-2}{x}>m \\
\end{aligned}$
Xét $f(x)=\dfrac{2.{{a}^{x}}-2}{x}(x>0)$
$\Rightarrow f(x)=\dfrac{2.{{a}^{x}}(x.\ln a+2)}{{{x}^{2}}}>0,\forall x>0$
$\Rightarrow f(x)$ đồng biến và liên tục trên $\left( 0,+\infty \right)$
$\Rightarrow m<\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f(x)\Leftrightarrow m<2\ln a$
Vì $\ln a>0,\forall a>1$
$\Rightarrow m\le 0\Rightarrow m=\{-2020;0\}$.