$S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $a$ thỏa mãn mỗi nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{x}}\left( 5{{x}^{2}}-8x+3 \right)>2$...

Ta có ${{\log }_{x}}\left( 5{{x}^{2}}-8x+3 \right)>2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x>1 \\
& 5{{x}^{2}}-8x+3>{{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& 0<x<1 \\
& 5{{x}^{2}}-8x+3>0 \\
& 5{{x}^{2}}-8x+3<{{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x>1 \\
& x>\dfrac{3}{2}\vee x<\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& 0<x<1 \\
& x>1\vee x<\dfrac{3}{5} \\
& \dfrac{1}{2}<x<\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x>\dfrac{3}{2} \\
& \dfrac{1}{2}<x<\dfrac{3}{5} \\
\end{aligned} \right.$
Bài toán đưa về tìm $a$ để ${{x}^{2}}-2x-{{a}^{4}}+1\ge 0$ đúng với mọi $x\in \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{5} \right)\cup \left( \dfrac{3}{2};+\infty \right)$.
Cách 1:Ta có ${{x}^{2}}-2x-{{a}^{4}}+1\ge 0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge {{a}^{4}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\ge {{a}^{2}}+1 \\
& x\le 1-{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-{{a}^{2}}\ge \dfrac{3}{5} \\
& {{a}^{2}}+1\le \dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}\le \dfrac{2}{5} \\
& {{a}^{2}}\le \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{a}^{2}}\le \dfrac{2}{5}\Leftrightarrow -\dfrac{\sqrt{10}}{5}\le a\le \dfrac{\sqrt{10}}{5}$
Cách 2: ${{x}^{2}}-2x-{{a}^{4}}+1\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1\ge {{a}^{4}}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+1$ trên $\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{5} \right)\cup \left( \dfrac{3}{2};+\infty \right)$.
Suy ra: ${{a}^{4}}\le \dfrac{4}{25}\Leftrightarrow {{a}^{2}}\le \dfrac{2}{5}\Leftrightarrow -\dfrac{\sqrt{10}}{5}\le a\le \dfrac{\sqrt{10}}{5}$.