$S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $a$ thỏa mãn mỗi nghiệm của bất phương trình $\log_{x} (5 x^{2} - 8 x + 3) > 2$ ...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi:

S

là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

a

thỏa mãn mỗi nghiệm của bất phương trình

\log_{x} (5 x^{2} - 8 x + 3) > 2

đều là nghiệm của bất phương trình

x^{2} - 2 x - a^{4} + 1 \geq 0.

Khi đó
A.

S = [- \frac{\sqrt{10}}{5}; \frac{\sqrt{10}}{5}] .

B.

S = (- \infty; - \frac{\sqrt{10}}{5}] \cup [\frac{\sqrt{10}}{5}; + \infty) .

C.

S = (- \infty; - \frac{\sqrt{10}}{5}) \cup (\frac{\sqrt{10}}{5}; + \infty) .

D.

S = (- \frac{\sqrt{10}}{5}; \frac{\sqrt{10}}{5}) .

Ta có

\log_{x} (5 x^{2} - 8 x + 3) > 2 \Leftrightarrow [\begin{aligned} {\begin{aligned} x > 1 \\ 5 x^{2} - 8 x + 3 > x^{2} \end{aligned} \\ {\begin{aligned} 0 < x < 1 \\ 5 x^{2} - 8 x + 3 > 0 \\ 5 x^{2} - 8 x + 3 < x^{2} \end{aligned} \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} {\begin{aligned} x > 1 \\ x > \frac{3}{2} \lor x < \frac{1}{2} \end{aligned} \\ {\begin{aligned} 0 < x < 1 \\ x > 1 \lor x < \frac{3}{5} \\ \frac{1}{2} < x < \frac{3}{2} \end{aligned} \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} x > \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} < x < \frac{3}{5} \end{aligned}

Bài toán đưa về tìm

a

để

x^{2} - 2 x - a^{4} + 1 \geq 0

đúng với mọi

x \in (\frac{1}{2}; \frac{3}{5}) \cup (\frac{3}{2}; + \infty)

.
Cách 1:Ta có

x^{2} - 2 x - a^{4} + 1 \geq 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} \geq a^{4} \Leftrightarrow [\begin{aligned} x \geq a^{2} + 1 \\ x \leq 1 - a^{2} \end{aligned}

Yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow {\begin{aligned} 1 - a^{2} \geq \frac{3}{5} \\ a^{2} + 1 \leq \frac{3}{2} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a^{2} \leq \frac{2}{5} \\ a^{2} \leq \frac{1}{2} \end{aligned} \Leftrightarrow a^{2} \leq \frac{2}{5} \Leftrightarrow - \frac{\sqrt{10}}{5} \leq a \leq \frac{\sqrt{10}}{5}

Cách 2: $x^{2} - 2 x - a^{4} + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 1 \geq a^{4} .$
Xét hàm số

f (x) = x^{2} - 2 x + 1

trên

(\frac{1}{2}; \frac{3}{5}) \cup (\frac{3}{2}; + \infty)

.

Suy ra:

a^{4} \leq \frac{4}{25} \Leftrightarrow a^{2} \leq \frac{2}{5} \Leftrightarrow - \frac{\sqrt{10}}{5} \leq a \leq \frac{\sqrt{10}}{5}

.

Đáp án A.

S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số a thỏa mãn mỗi nghiệm của bất phương trình logx(5x2−8x+3)>2...