Phương trình ${{2}^{x-2+\sqrt[3]{m-3x}}}+\left(...

Ta có ${{2}^{x-2+\sqrt[3]{m-3x}}}+\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+m \right){{2}^{x-2}}={{2}^{x+1}}+1$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{2}^{\sqrt[3]{m-3x}}}+\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+m \right)={{2}^{2-x}} \\
& \Leftrightarrow {{2}^{\sqrt[3]{m-3x}}}+m-3x={{2}^{2-x}}+{{\left( 2-x \right)}^{3}} \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+{{t}^{3}}$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+3{{t}^{2}}>0,\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow $ hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Mà $f\left( \sqrt[3]{m-3x} \right)=f\left( 2-x \right)\Leftrightarrow \sqrt[3]{m-3x}=\left( 2-x \right)\Leftrightarrow m-3x={{\left( 2-x \right)}^{3}}$.
$\Leftrightarrow m=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x+8$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x+8$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+12x-9;{g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+12x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi $4<m<8$
Hay $m\in \left( 4;8 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=4 \\
& b=8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow T={{b}^{2}}-{{a}^{2}}={{8}^{2}}-{{4}^{2}}=48.$