Google
Câu hỏi: Ở mặt nước, một nguồn sóng đặt tại điểm O dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Sóng truyền trên mặt nước có bước sóng $\lambda $. Chọn hệ tọa độ vuông góc Oxy (thuộc mặt nước). Hai điểm P và Q nằm trên Ox, P dao động ngược pha với O còn Q dao động cùng pha với O. Giữa khoảng OP có 4 điểm dao động ngược pha với O, giữa khoảng OQ có 8 điểm dao động ngược pha với O. Trên trục Oy có điểm M sao cho góc PMQ đạt giá trị lớn nhất. Tìm số điểm dao động ngược pha với O trên đoạn MQ
A. 5.
B. 4.
C. 6.
D. 7.
Theo đề bài ta suy ra: $OP=4,5\lambda ,OQ=8\lambda $
Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác MPQ ta có
$\dfrac{PQ}{\sin PMQ}=\dfrac{MP}{\sin MQP}=\dfrac{\sqrt{O{{M}^{2}}+O{{P}^{2}}}}{\dfrac{OM}{\sqrt{O{{M}^{2}}+O{{Q}^{2}}}}}=\dfrac{\sqrt{\left( O{{M}^{2}}+O{{P}^{2}} \right)\left( O{{M}^{2}}+O{{Q}^{2}} \right)}}{OM}$
Đặt $OM=x$ ta có $\dfrac{PQ}{\sin PMQ}=\dfrac{\sqrt{\left( {{x}^{2}}+O{{P}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+O{{Q}^{2}} \right)}}{x}$
Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – xki cho tích $\left( {{x}^{2}}+O{{P}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+O{{Q}^{2}} \right)\ge {{\left( OPx+OQx \right)}^{2}}$
Do đó: $\dfrac{PQ}{\sin PMQ}=\dfrac{\sqrt{\left( {{x}^{2}}+O{{P}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+O{{Q}^{2}} \right)}}{x}\ge \dfrac{x\left( OP+OQ \right)}{x}=OP+OQ=12,5\lambda \Rightarrow \sin PMQ\le \dfrac{3,5}{12,5}$
Dấu "=" xảy ra ứng với góc PMQ lớn nhất khi $\dfrac{OP}{x}=\dfrac{x}{OQ}\Leftrightarrow x=\sqrt{OP.OQ}=6\lambda $
Do đó, $OM=6\lambda $
* Tìm số điểm dao động ngược pha với O trên đoạn MQ
Ta tính được $OH=4,8\lambda $.
- Số điểm dao động ngược pha với nguồn trên đoạn HM là số giá trị nguyên của k thỏa mãn
$4,8\lambda \le d=\left( k+\dfrac{1}{2} \right)\lambda \le 6\lambda \Rightarrow \le 4,3\le k\le 5,5\Rightarrow k=5\Rightarrow $ Trên đoạn HM có 1 điểm
- Số điểm dao động ngược pha với nguồn trên đoạn HQ là số giá trị nguyên của k thỏa mãn
$4,8\lambda \le d=\left( k+\dfrac{1}{2} \right)\lambda \le 8\lambda \Rightarrow \le 4,3\le k\le 7,5\Rightarrow k=5,6,7\Rightarrow $ Trên đoạn HQ có 3 điểm.
Vậy trên MQ có 4 điểm dao động ngược pha với O
A. 5.
B. 4.
C. 6.
D. 7.
Theo đề bài ta suy ra: $OP=4,5\lambda ,OQ=8\lambda $
Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác MPQ ta có
$\dfrac{PQ}{\sin PMQ}=\dfrac{MP}{\sin MQP}=\dfrac{\sqrt{O{{M}^{2}}+O{{P}^{2}}}}{\dfrac{OM}{\sqrt{O{{M}^{2}}+O{{Q}^{2}}}}}=\dfrac{\sqrt{\left( O{{M}^{2}}+O{{P}^{2}} \right)\left( O{{M}^{2}}+O{{Q}^{2}} \right)}}{OM}$
Đặt $OM=x$ ta có $\dfrac{PQ}{\sin PMQ}=\dfrac{\sqrt{\left( {{x}^{2}}+O{{P}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+O{{Q}^{2}} \right)}}{x}$
Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – xki cho tích $\left( {{x}^{2}}+O{{P}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+O{{Q}^{2}} \right)\ge {{\left( OPx+OQx \right)}^{2}}$
Do đó: $\dfrac{PQ}{\sin PMQ}=\dfrac{\sqrt{\left( {{x}^{2}}+O{{P}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+O{{Q}^{2}} \right)}}{x}\ge \dfrac{x\left( OP+OQ \right)}{x}=OP+OQ=12,5\lambda \Rightarrow \sin PMQ\le \dfrac{3,5}{12,5}$
Dấu "=" xảy ra ứng với góc PMQ lớn nhất khi $\dfrac{OP}{x}=\dfrac{x}{OQ}\Leftrightarrow x=\sqrt{OP.OQ}=6\lambda $
Do đó, $OM=6\lambda $
* Tìm số điểm dao động ngược pha với O trên đoạn MQ
Ta tính được $OH=4,8\lambda $.
- Số điểm dao động ngược pha với nguồn trên đoạn HM là số giá trị nguyên của k thỏa mãn
$4,8\lambda \le d=\left( k+\dfrac{1}{2} \right)\lambda \le 6\lambda \Rightarrow \le 4,3\le k\le 5,5\Rightarrow k=5\Rightarrow $ Trên đoạn HM có 1 điểm
- Số điểm dao động ngược pha với nguồn trên đoạn HQ là số giá trị nguyên của k thỏa mãn
$4,8\lambda \le d=\left( k+\dfrac{1}{2} \right)\lambda \le 8\lambda \Rightarrow \le 4,3\le k\le 7,5\Rightarrow k=5,6,7\Rightarrow $ Trên đoạn HQ có 3 điểm.
Vậy trên MQ có 4 điểm dao động ngược pha với O
Đáp án B.