Google
Câu hỏi: Người ta xây một sân khấu với sân có dạng của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai hình tròn là 20 m và 15 m. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 m. Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là 300 nghìn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 nghìn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân khấu gần với số nào nhất trong các số dưới đây?
A. 208triệu đồng..
B. 202 triệu đồng.
C. 200 triệu đồng.
D. 218 triệu đồng.
A. 208triệu đồng..
B. 202 triệu đồng.
C. 200 triệu đồng.
D. 218 triệu đồng.
Lời giải
Gọi ${{O}_{1}},{{O}_{2}}$ lần lượt là tâm của hai đường tròn bán kính 20 m và 15 m. A , B là hai giao điểm của hai đường tròn.
Ta có ${{O}_{1}}A={{O}_{1}}B=20m;{{O}_{2}}A={{O}_{2}}B=15m;{{O}_{1}}{{O}_{2}}=30m.~$
$\cos \widehat{B{{O}_{1}}{{O}_{2}}}=\dfrac{{{O}_{1}}{{B}^{2}}+{{O}_{1}}O_{2}^{2}-{{O}_{2}}{{B}^{2}}}{2{{O}_{1}}B.{{O}_{1}}{{O}_{2}}}=\dfrac{43}{48}\Rightarrow \widehat{B{{O}_{1}}{{O}_{2}}}\approx {{26}^{0}}23'$
Theo tính chất hai đường tròn cắt nhau ta có ${{O}_{1}}{{O}_{2}}$ là tia phân giác $\widehat{A{{O}_{1}}B}$
$\Rightarrow \widehat{A{{O}_{1}}B}=\widehat{2{{O}_{2}}{{O}_{1}}B}={{52,77}^{0}}~$
Suy ra diện tích hình quạt tròn ${{O}_{1}}AB$ là ${{S}_{{{O}_{1}}AB}}=\pi {{.20}^{2}}.\dfrac{52,77}{360}\approx 184,2\left( {{m}^{2}} \right)$
${{S}_{\Delta {{O}_{1}}AB}}=\dfrac{1}{2}{{O}_{A}}AB.\sin \widehat{A{{O}_{1}}B}\approx 159,2\left( {{m}^{2}} \right)$
Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung $\overset\frown{AmB}$ trong đường tròn $\left( {{O}_{1}} \right)$.
$\Rightarrow {{S}_{1}}={{S}_{{{O}_{1}}AB}}-{{S}_{\Delta {{O}_{1}}AB}}=25\left( {{m}^{2}} \right)$
Chứng minh tương tự ta được diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung $\overset\frown{AmB}$ trong đường tròn $\left( {{O}_{2}} \right)$ là ${{S}_{2}}\approx 35\left( {{m}^{2}} \right)$
Suy ra diện tích phần giao nhau là $S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=60\left( {{m}^{2}} \right)$
⇒ Chi phí làm sân khấu phần giao nhau 60.300000 = 18000000 (nghìn đồng).
Tổng diện tích của hai hình tròn là $S\prime =\pi {{20}^{2}}+\pi {{15}^{2}}\approx 1963\left( {{m}^{2}} \right)$.
Diện tích phần không giao nhau là $S\prime -S=1903\left( {{m}^{2}} \right).$
⇒ Chi phí làm sân khấu phần không giao nhau 1903.100000 = 190300000 (nghìn đồng). Số tiền làm mặt sân là 18000000 + 190000000 = 208300000 (nghìn đồng) = 208,3 (triệu đồng).
Gọi ${{O}_{1}},{{O}_{2}}$ lần lượt là tâm của hai đường tròn bán kính 20 m và 15 m. A , B là hai giao điểm của hai đường tròn.
Ta có ${{O}_{1}}A={{O}_{1}}B=20m;{{O}_{2}}A={{O}_{2}}B=15m;{{O}_{1}}{{O}_{2}}=30m.~$
$\cos \widehat{B{{O}_{1}}{{O}_{2}}}=\dfrac{{{O}_{1}}{{B}^{2}}+{{O}_{1}}O_{2}^{2}-{{O}_{2}}{{B}^{2}}}{2{{O}_{1}}B.{{O}_{1}}{{O}_{2}}}=\dfrac{43}{48}\Rightarrow \widehat{B{{O}_{1}}{{O}_{2}}}\approx {{26}^{0}}23'$
Theo tính chất hai đường tròn cắt nhau ta có ${{O}_{1}}{{O}_{2}}$ là tia phân giác $\widehat{A{{O}_{1}}B}$
$\Rightarrow \widehat{A{{O}_{1}}B}=\widehat{2{{O}_{2}}{{O}_{1}}B}={{52,77}^{0}}~$
Suy ra diện tích hình quạt tròn ${{O}_{1}}AB$ là ${{S}_{{{O}_{1}}AB}}=\pi {{.20}^{2}}.\dfrac{52,77}{360}\approx 184,2\left( {{m}^{2}} \right)$
${{S}_{\Delta {{O}_{1}}AB}}=\dfrac{1}{2}{{O}_{A}}AB.\sin \widehat{A{{O}_{1}}B}\approx 159,2\left( {{m}^{2}} \right)$
Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung $\overset\frown{AmB}$ trong đường tròn $\left( {{O}_{1}} \right)$.
$\Rightarrow {{S}_{1}}={{S}_{{{O}_{1}}AB}}-{{S}_{\Delta {{O}_{1}}AB}}=25\left( {{m}^{2}} \right)$
Chứng minh tương tự ta được diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung $\overset\frown{AmB}$ trong đường tròn $\left( {{O}_{2}} \right)$ là ${{S}_{2}}\approx 35\left( {{m}^{2}} \right)$
Suy ra diện tích phần giao nhau là $S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=60\left( {{m}^{2}} \right)$
⇒ Chi phí làm sân khấu phần giao nhau 60.300000 = 18000000 (nghìn đồng).
Tổng diện tích của hai hình tròn là $S\prime =\pi {{20}^{2}}+\pi {{15}^{2}}\approx 1963\left( {{m}^{2}} \right)$.
Diện tích phần không giao nhau là $S\prime -S=1903\left( {{m}^{2}} \right).$
⇒ Chi phí làm sân khấu phần không giao nhau 1903.100000 = 190300000 (nghìn đồng). Số tiền làm mặt sân là 18000000 + 190000000 = 208300000 (nghìn đồng) = 208,3 (triệu đồng).
Đáp án A.