Google
Câu hỏi: Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ có thể tích nhất định. Biết rằng giá trị của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị điện tích). Gọi chiều cao của thùng là $h,$ bán kính đáy là $r.$ Tính tỉ số $\dfrac{h}{r}$ sao cho chi phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ nhất.
A. $\dfrac{h}{r}=3\sqrt{2}.$
B. $\dfrac{h}{r}=\sqrt{2}.$
C. $\dfrac{h}{r}=2.$
D. $\dfrac{h}{r}=6.$
A. $\dfrac{h}{r}=3\sqrt{2}.$
B. $\dfrac{h}{r}=\sqrt{2}.$
C. $\dfrac{h}{r}=2.$
D. $\dfrac{h}{r}=6.$
Tổng diện tích mặt đáy và mặt nắp của thùng là: ${{S}_{1}}=2\pi {{r}^{2}}$
Diện tích mặt xung quanh của thùng là: ${{S}_{2}}=2\pi rh$
Thể tích của thùng là: $V=\pi {{r}^{2}}h$
Gọi giá vật liệu mặt xung quanh là: $a$ (đồng/ đơn vị diện tích)
Suy ra giá vật liệu mặt đáy và nắp của thùng là: $3a$ (đồng/ đơn vị diện tích)
Tổng chi phí để thiết kế thùng là:
$C=2\pi {{r}^{2}}.3a+2\pi rh.a=a\left( 6\pi {{r}^{2}}+2\pi rh \right)$
$\Leftrightarrow C=a\left( 6\pi {{r}^{2}}+\pi rh+\pi rh \right)\underset{Cauchy}{\mathop{\ge }} 3a.\sqrt[3]{6\pi {{r}^{2}}.\pi rh.\pi rh}=3a.\sqrt[3]{6\pi .{{\left( \pi {{r}^{2}}h \right)}^{2}}}=3a.\sqrt[3]{6\pi .{{V}^{2}}}$
Dấu "=" xay ra khi và chỉ khi: $6\pi {{r}^{2}}=\pi rh\Leftrightarrow \dfrac{h}{r}=6$
Vậy để chi phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ nhất thì: $\dfrac{h}{r}=6.$
Diện tích mặt xung quanh của thùng là: ${{S}_{2}}=2\pi rh$
Thể tích của thùng là: $V=\pi {{r}^{2}}h$
Gọi giá vật liệu mặt xung quanh là: $a$ (đồng/ đơn vị diện tích)
Suy ra giá vật liệu mặt đáy và nắp của thùng là: $3a$ (đồng/ đơn vị diện tích)
Tổng chi phí để thiết kế thùng là:
$C=2\pi {{r}^{2}}.3a+2\pi rh.a=a\left( 6\pi {{r}^{2}}+2\pi rh \right)$
$\Leftrightarrow C=a\left( 6\pi {{r}^{2}}+\pi rh+\pi rh \right)\underset{Cauchy}{\mathop{\ge }} 3a.\sqrt[3]{6\pi {{r}^{2}}.\pi rh.\pi rh}=3a.\sqrt[3]{6\pi .{{\left( \pi {{r}^{2}}h \right)}^{2}}}=3a.\sqrt[3]{6\pi .{{V}^{2}}}$
Dấu "=" xay ra khi và chỉ khi: $6\pi {{r}^{2}}=\pi rh\Leftrightarrow \dfrac{h}{r}=6$
Vậy để chi phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ nhất thì: $\dfrac{h}{r}=6.$
Đáp án D.