Google
Câu hỏi: Người ta cần cắt một khối lập phương thành hai khối đa diện bởi một mặt phẳng đi qua $A$ và lần lượt cắt BB', CC', DD' taị M, N, P sao cho phần thể tích của khối đa diện chứa điểm $B$ bằng một nửa thể tích của khối đa diện còn lại.
Tính tỉ số $k=\dfrac{CN}{C{C}'}$.
A. $k=\dfrac{5}{6}$.
B. $k=\dfrac{3}{4}$.
C. $k=\dfrac{4}{5}$.
D. $k=\dfrac{2}{3}$.
Tính tỉ số $k=\dfrac{CN}{C{C}'}$.
A. $k=\dfrac{5}{6}$.
B. $k=\dfrac{3}{4}$.
C. $k=\dfrac{4}{5}$.
D. $k=\dfrac{2}{3}$.
Phương pháp:
Sử dụng tính chất 2 đoạn thẳng song song để chứng minh góc bằng nhau.
Dùng tỉ số thể tích giữa các hình.
Cách giải:
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( AMNP \right)\cap \left( AB{{B}^{'}}{{A}^{'}} \right)=AM \\
& \left( AMNP \right)\cap \left( CD{{D}^{'}}{{C}^{'}} \right)=NP\Rightarrow AM\parallel NP \\
& AB{{B}^{'}}{{A}^{'}}\parallel \left( CD{{D}^{'}}{{C}^{'}} \right) \\
\end{aligned} \right.$
CMTT ta có AP $\parallel $ MN
⇒ AMNP là hình bình hành ⇒ AM= PN.
Trong ( CDD' C' ) kẻ PP' $\parallel $ CD( P' ∈ CC' ) , ta có:
CDPP' là hình chữ nhật ⇒ PD= P' C⇒∆APD= ∆ BP'C.
Xét ∆ ABM và ∆ PP' N có:
AB=PP $^{'}$
' AM= PN
∠ MAB= ∠ NPP' ( AM $\parallel $ PN, AB $\parallel $ PP' )
$~\Rightarrow \Delta ABM=\Delta PP'N~~(c.g.c)$
⇒ APD.BP $^{'}$ C,AMB.PNP $^{'}$ là hai khối lăng trụ.
Gọi cạnh của hình lập phương là 1, ta có: ${{V}_{ABCDMNP}}=\dfrac{1}{3}$
Ta có: ${{V}_{ABCDMNP}}={{V}_{APD.BP'C}}+{{V}_{AMB.PN{{P}^{'}}}}=\dfrac{1}{3}$
${{V}_{APD.B{{P}^{'}}C}}=CD.{{S}_{APD}}=CD.\dfrac{1}{2}.AD.PD=\dfrac{1}{2}PD$
${{V}_{AMB.PN{{P}^{'}}}}=AD.{{S}_{PNP'}}=AD.\dfrac{1}{2}PP'.NP'=\dfrac{1}{2}NP'$
$\Rightarrow \dfrac{1}{2}PD+\dfrac{1}{2}NP'=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow PD+NP'=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow P'C+NP'=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow CN=\dfrac{2}{3}$
Vậy $\dfrac{CN}{C{{C}^{'}}}=\dfrac{2}{3}$
Sử dụng tính chất 2 đoạn thẳng song song để chứng minh góc bằng nhau.
Dùng tỉ số thể tích giữa các hình.
Cách giải:
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( AMNP \right)\cap \left( AB{{B}^{'}}{{A}^{'}} \right)=AM \\
& \left( AMNP \right)\cap \left( CD{{D}^{'}}{{C}^{'}} \right)=NP\Rightarrow AM\parallel NP \\
& AB{{B}^{'}}{{A}^{'}}\parallel \left( CD{{D}^{'}}{{C}^{'}} \right) \\
\end{aligned} \right.$
CMTT ta có AP $\parallel $ MN
⇒ AMNP là hình bình hành ⇒ AM= PN.
Trong ( CDD' C' ) kẻ PP' $\parallel $ CD( P' ∈ CC' ) , ta có:
CDPP' là hình chữ nhật ⇒ PD= P' C⇒∆APD= ∆ BP'C.
Xét ∆ ABM và ∆ PP' N có:
AB=PP $^{'}$
' AM= PN
∠ MAB= ∠ NPP' ( AM $\parallel $ PN, AB $\parallel $ PP' )
$~\Rightarrow \Delta ABM=\Delta PP'N~~(c.g.c)$
⇒ APD.BP $^{'}$ C,AMB.PNP $^{'}$ là hai khối lăng trụ.
Gọi cạnh của hình lập phương là 1, ta có: ${{V}_{ABCDMNP}}=\dfrac{1}{3}$
Ta có: ${{V}_{ABCDMNP}}={{V}_{APD.BP'C}}+{{V}_{AMB.PN{{P}^{'}}}}=\dfrac{1}{3}$
${{V}_{APD.B{{P}^{'}}C}}=CD.{{S}_{APD}}=CD.\dfrac{1}{2}.AD.PD=\dfrac{1}{2}PD$
${{V}_{AMB.PN{{P}^{'}}}}=AD.{{S}_{PNP'}}=AD.\dfrac{1}{2}PP'.NP'=\dfrac{1}{2}NP'$
$\Rightarrow \dfrac{1}{2}PD+\dfrac{1}{2}NP'=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow PD+NP'=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow P'C+NP'=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow CN=\dfrac{2}{3}$
Vậy $\dfrac{CN}{C{{C}^{'}}}=\dfrac{2}{3}$
Đáp án D.