Google
Câu hỏi: [ Mức độ 4] Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$, $\widehat{SCA}=\widehat{SBA}=90{}^\circ $. Khoảng cách giữa hai cạnh $SA$ và $BC$ là $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}a$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là
A. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{3\sqrt{5}}$.
B. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3\sqrt{5}}$.
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{5}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $BC$, ta có $AH\bot BC$ (1). Dựng $HI\bot SA, I\in SA$.
Ta có $\Delta SBC=\Delta SCA$ nên $SB=SC$ $\Rightarrow \Delta SBC$ cân tại $S$ $\Rightarrow SH\bot BC$ (2).
Từ (1) và (2) $\Rightarrow BC\bot \left( SAH \right)$ mà $HI\subset \left( SAH \right)$ nên $BC\bot HI$.
Vậy $HI={{d}_{\left( SA, BC \right)}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}a$.
Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ $\Rightarrow SD\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SD\bot AB$ mà $SB\bot AB\Rightarrow AB\bot \left( SBD \right)\Rightarrow AB\bot BD\Rightarrow \Delta ABD$ vuông tại $B$.
Tương tự ta cũng có $\Delta ACD$ vuông tại $C$.
Ta có $\Delta ABD=\Delta ACD\Rightarrow DB=DC\Rightarrow D$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.
Xét tam giác vuông $AHB$ có: $AH=\sqrt{A{{H}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Xét tam giác vuông $ABD$ có:
$\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{B{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow BD=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$.
$AD=\sqrt{B{{D}^{2}}+B{{A}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}+4{{a}^{2}}}=\dfrac{4a}{\sqrt{3}}$.
Dựng $DK\bot SA, K\in SA\Rightarrow DK // HI$.
Ta có: $\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{HI}{DK}\Rightarrow DK=\dfrac{AD.HI}{AH}=\dfrac{\dfrac{4a}{\sqrt{3}}.\dfrac{2\sqrt{3}}{3}a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{8a}{3\sqrt{3}}$.
Xét tam giác vuông $SDA$, ta có :
$\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{S{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{27}{64{{a}^{2}}}-\dfrac{3}{16{{a}^{2}}}=\dfrac{15}{64{{a}^{2}}}\Rightarrow SD=\dfrac{8a}{\sqrt{15}}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SD.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.SD.\dfrac{1}{2}.AH.BC=\dfrac{1}{6}.\dfrac{8a}{\sqrt{15}}.2a.a\sqrt{3}=\dfrac{8{{a}^{3}}}{3\sqrt{5}}$ (đvtt).
A. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{3\sqrt{5}}$.
B. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3\sqrt{5}}$.
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{5}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $BC$, ta có $AH\bot BC$ (1). Dựng $HI\bot SA, I\in SA$.
Ta có $\Delta SBC=\Delta SCA$ nên $SB=SC$ $\Rightarrow \Delta SBC$ cân tại $S$ $\Rightarrow SH\bot BC$ (2).
Từ (1) và (2) $\Rightarrow BC\bot \left( SAH \right)$ mà $HI\subset \left( SAH \right)$ nên $BC\bot HI$.
Vậy $HI={{d}_{\left( SA, BC \right)}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}a$.
Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ $\Rightarrow SD\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SD\bot AB$ mà $SB\bot AB\Rightarrow AB\bot \left( SBD \right)\Rightarrow AB\bot BD\Rightarrow \Delta ABD$ vuông tại $B$.
Tương tự ta cũng có $\Delta ACD$ vuông tại $C$.
Ta có $\Delta ABD=\Delta ACD\Rightarrow DB=DC\Rightarrow D$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.
Xét tam giác vuông $AHB$ có: $AH=\sqrt{A{{H}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Xét tam giác vuông $ABD$ có:
$\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{B{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow BD=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$.
$AD=\sqrt{B{{D}^{2}}+B{{A}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}+4{{a}^{2}}}=\dfrac{4a}{\sqrt{3}}$.
Dựng $DK\bot SA, K\in SA\Rightarrow DK // HI$.
Ta có: $\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{HI}{DK}\Rightarrow DK=\dfrac{AD.HI}{AH}=\dfrac{\dfrac{4a}{\sqrt{3}}.\dfrac{2\sqrt{3}}{3}a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{8a}{3\sqrt{3}}$.
Xét tam giác vuông $SDA$, ta có :
$\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{S{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{27}{64{{a}^{2}}}-\dfrac{3}{16{{a}^{2}}}=\dfrac{15}{64{{a}^{2}}}\Rightarrow SD=\dfrac{8a}{\sqrt{15}}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SD.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.SD.\dfrac{1}{2}.AH.BC=\dfrac{1}{6}.\dfrac{8a}{\sqrt{15}}.2a.a\sqrt{3}=\dfrac{8{{a}^{3}}}{3\sqrt{5}}$ (đvtt).
Đáp án A.