Google
Câu hỏi: [ Mức độ 3] Cho phương trình $\log _{5}^{3}\left( 5x \right)-6\log _{5}^{2}\left( \dfrac{x}{5} \right)-\left( 11+m \right){{\log }_{5}}x+3+m=0$ ( $m$ là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ 1;625 \right]$ là
A. $\left( 1;2 \right)$.
B. $\left[ 1;2 \right]$.
C. $\left( 2;+\infty \right)$.
D. $\left( 1;2 \right]$.
A. $\left( 1;2 \right)$.
B. $\left[ 1;2 \right]$.
C. $\left( 2;+\infty \right)$.
D. $\left( 1;2 \right]$.
Điều kiện: $x>0$.
$\log _{5}^{3}\left( 5x \right)-6\log _{5}^{2}\left( \dfrac{x}{5} \right)-\left( 11+m \right){{\log }_{5}}x+3+m=0$
$\Leftrightarrow {{\left( 1+{{\log }_{5}}x \right)}^{3}}-6{{\left( {{\log }_{5}}x-1 \right)}^{2}}-\left( 11+m \right){{\log }_{5}}x+3+m=0$.
Đặt $t={{\log }_{5}}x$ ta được ${{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+\left( 4-m \right)t+m-2=0$ (*).
Với $x\in \left[ 1;625 \right]$ thì $t\in \left[ 0;4 \right]$. Vậy ta cần tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ 0;4 \right]$.
Ta có $\left( * \right)\Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left( {{t}^{2}}-2t+2-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& {{t}^{2}}-2t+2-m=0\text{ (**)} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy ta cần tìm $m$ để (**) có hai nghiệm phân biệt khác 1 thuộc đoạn $\left[ 0;4 \right]$.
Ta có ${{t}^{2}}-2t+2-m=0\Leftrightarrow m={{t}^{2}}-2t+2$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}-2t+2$ có bảng biến thiên trên đoạn $\left[ 0;4 \right]$ như sau.
Suy ra điều kiện của $m$ là $m\in \left( 1;2 \right]$. Chọn đáp án D.
$\log _{5}^{3}\left( 5x \right)-6\log _{5}^{2}\left( \dfrac{x}{5} \right)-\left( 11+m \right){{\log }_{5}}x+3+m=0$
$\Leftrightarrow {{\left( 1+{{\log }_{5}}x \right)}^{3}}-6{{\left( {{\log }_{5}}x-1 \right)}^{2}}-\left( 11+m \right){{\log }_{5}}x+3+m=0$.
Đặt $t={{\log }_{5}}x$ ta được ${{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+\left( 4-m \right)t+m-2=0$ (*).
Với $x\in \left[ 1;625 \right]$ thì $t\in \left[ 0;4 \right]$. Vậy ta cần tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ 0;4 \right]$.
Ta có $\left( * \right)\Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left( {{t}^{2}}-2t+2-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& {{t}^{2}}-2t+2-m=0\text{ (**)} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy ta cần tìm $m$ để (**) có hai nghiệm phân biệt khác 1 thuộc đoạn $\left[ 0;4 \right]$.
Ta có ${{t}^{2}}-2t+2-m=0\Leftrightarrow m={{t}^{2}}-2t+2$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}-2t+2$ có bảng biến thiên trên đoạn $\left[ 0;4 \right]$ như sau.
Suy ra điều kiện của $m$ là $m\in \left( 1;2 \right]$. Chọn đáp án D.
Đáp án D.