Google
Câu hỏi: [ Mức độ 3] Cho hàm số $y=\sqrt{{{x}^{2}}+1}-mx+2020$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ để hàm đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$ ?
A. $20$.
B. $8$.
C. $12$.
D. $10$.
A. $20$.
B. $8$.
C. $12$.
D. $10$.
Có ${y}'=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-m$.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow $ $y'=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-m\ge 0$ (1) $\forall x\in \left( -\infty ;+\infty \right)$, dấu "=" xảy ra tại hữu hạn điểm.
Từ (1) ta có: $g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\ge m$ (2) $\forall x\in \left( -\infty ;+\infty \right)$.
Hàm số $g(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$ và ${g}'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\left( {{x}^{2}}+1 \right)}>0$ $\forall x\in \left( -\infty ;+\infty \right)$ nên $g(x)$ luôn đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$.
Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} g(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=-1;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} g(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=1$ và hàm số đồng biến với mọi $x\in \left( -\infty ;+\infty \right)$ nên từ (2) suy ra $m\le -1$, kết hợp giả thiết $m\in \left[ -10;10 \right]$ và $m$ nguyên nên ta có 10 giá trị của $m$ ( $m$ nhận các giá trị : $-10 ; -9 ; -8 ; -7 ; -6 ; -5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1$ ).
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow $ $y'=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-m\ge 0$ (1) $\forall x\in \left( -\infty ;+\infty \right)$, dấu "=" xảy ra tại hữu hạn điểm.
Từ (1) ta có: $g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\ge m$ (2) $\forall x\in \left( -\infty ;+\infty \right)$.
Hàm số $g(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$ và ${g}'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\left( {{x}^{2}}+1 \right)}>0$ $\forall x\in \left( -\infty ;+\infty \right)$ nên $g(x)$ luôn đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$.
Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} g(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=-1;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} g(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=1$ và hàm số đồng biến với mọi $x\in \left( -\infty ;+\infty \right)$ nên từ (2) suy ra $m\le -1$, kết hợp giả thiết $m\in \left[ -10;10 \right]$ và $m$ nguyên nên ta có 10 giá trị của $m$ ( $m$ nhận các giá trị : $-10 ; -9 ; -8 ; -7 ; -6 ; -5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1$ ).
Đáp án D.