Google
Câu hỏi: Một vật thực hiện cùng lúc hai dao động điều hòa thành phần cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là ${{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos \left( \omega t+\dfrac{\pi }{3} \right)\left( cm \right)$, ${{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{4} \right)\left( cm \right)$. Biết phương trình dao động tổng hợp là $x=5\cos \left( \omega t+\varphi \right)\left( cm \right)$. Để tổng $\left( {{A}_{1}}+{{A}_{2}} \right)$ có giá trị cực đại thì có giá trị là
A. $\dfrac{\pi }{12}$.
B. $\dfrac{5\pi }{12}$.
C. $\dfrac{\pi }{24}$.
D. $\dfrac{\pi }{6}$.
A. $\dfrac{\pi }{12}$.
B. $\dfrac{5\pi }{12}$.
C. $\dfrac{\pi }{24}$.
D. $\dfrac{\pi }{6}$.
Vẽ giãn đồ vectơ các dao động ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$.
Áp dụng định lý sin trong tam giác, ta có: $\dfrac{A}{\sin \beta }=\dfrac{{{A}_{1}}}{\sin {{\alpha }_{1}}}=\dfrac{{{A}_{2}}}{\sin \gamma }=\dfrac{{{A}_{1}}+{{A}_{2}}}{\sin \alpha +\sin \gamma }$
Suy ra: $\left( {{A}_{1}}+{{A}_{2}} \right)=\dfrac{A}{\sin \beta }\left( \sin \alpha +\sin \gamma \right)$
Từ giản đổ vectơ xác định được góc $\beta =\dfrac{5\pi }{12}$.
Do đó $\left( {{A}_{1}}+{{A}_{2}} \right)$ đạt cực đại khi $\left( \sin \alpha +\sin \gamma \right)$ đạt giá trị lớn nhất.
Ta có: $\left( \sin \alpha +\sin \gamma \right)=2\sin \dfrac{\alpha +\gamma }{2}\cos \dfrac{\alpha -\gamma }{2}$, mà $\alpha +\gamma =\pi -\beta =\dfrac{7\pi }{12}\Rightarrow \sin \dfrac{\alpha +\gamma }{2}$ là hằng số.
Do đó ${{\left( {{A}_{1}}+{{A}_{2}} \right)}_{\max }}$ khi: $\cos \dfrac{\alpha -\gamma }{2}=1\Rightarrow \alpha =\gamma $
Tam giác $OA{{A}_{2}}$ cân tại ${{A}_{2}}$ do đó: $\alpha =\gamma =\dfrac{7\pi }{24}\varphi =\left| \alpha -\dfrac{\pi }{4} \right|=\dfrac{\pi }{24}$.
Áp dụng định lý sin trong tam giác, ta có: $\dfrac{A}{\sin \beta }=\dfrac{{{A}_{1}}}{\sin {{\alpha }_{1}}}=\dfrac{{{A}_{2}}}{\sin \gamma }=\dfrac{{{A}_{1}}+{{A}_{2}}}{\sin \alpha +\sin \gamma }$
Suy ra: $\left( {{A}_{1}}+{{A}_{2}} \right)=\dfrac{A}{\sin \beta }\left( \sin \alpha +\sin \gamma \right)$
Từ giản đổ vectơ xác định được góc $\beta =\dfrac{5\pi }{12}$.
Do đó $\left( {{A}_{1}}+{{A}_{2}} \right)$ đạt cực đại khi $\left( \sin \alpha +\sin \gamma \right)$ đạt giá trị lớn nhất.
Ta có: $\left( \sin \alpha +\sin \gamma \right)=2\sin \dfrac{\alpha +\gamma }{2}\cos \dfrac{\alpha -\gamma }{2}$, mà $\alpha +\gamma =\pi -\beta =\dfrac{7\pi }{12}\Rightarrow \sin \dfrac{\alpha +\gamma }{2}$ là hằng số.
Do đó ${{\left( {{A}_{1}}+{{A}_{2}} \right)}_{\max }}$ khi: $\cos \dfrac{\alpha -\gamma }{2}=1\Rightarrow \alpha =\gamma $
Tam giác $OA{{A}_{2}}$ cân tại ${{A}_{2}}$ do đó: $\alpha =\gamma =\dfrac{7\pi }{24}\varphi =\left| \alpha -\dfrac{\pi }{4} \right|=\dfrac{\pi }{24}$.
Đáp án C.