Google
Câu hỏi: Một vật dao động điều hoà. Hình bên là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc $v$ và li độ $x$ của vật. Gọi ${{k}_{1}}$ và ${{k}_{2}}$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại $M$ và $N$. Tỷ số $\dfrac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}$ bằng
A. $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$.
B. 2.
C. $\dfrac{1}{\sqrt{6}}$.
D. $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
A. $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$.
B. 2.
C. $\dfrac{1}{\sqrt{6}}$.
D. $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
Về mặt toán học, hệ số góc của tiếp tuyến tại $M$ và $N$ là đạo hàm của vận tốc $v$ theo li độ $x$ tại điểm đó
Ta có:
$\dfrac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=1$, đạo hàm hai vế theo $x$ → $\dfrac{2x}{{{A}^{2}}}+\dfrac{2v{v}'}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=0$ → ${v}'=-\dfrac{{{\omega }^{2}}}{v}x$
→ $\left\{ \begin{aligned}
& {{k}_{1}}={v}'\left( {{x}_{M}} \right) \\
& {{k}_{2}}={v}'\left( {{x}_{N}} \right) \\
\end{aligned} \right. $ → $ \dfrac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}=\dfrac{{{v}_{N}}{{x}_{M}}}{{{v}_{M}}{{x}_{N}}}=\dfrac{\sqrt{{{A}^{2}}-x_{N}^{2}}}{\sqrt{{{A}^{2}}-x_{M}^{2}}}.\dfrac{{{x}_{M}}}{{{x}_{N}}}=\dfrac{\sqrt{{{1}^{2}}-{{\left( 0,5 \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{1}^{2}}-{{\left( 0,25 \right)}^{2}}}}.\left( \dfrac{0,25}{0,5} \right)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$.
Ta có:
$\dfrac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=1$, đạo hàm hai vế theo $x$ → $\dfrac{2x}{{{A}^{2}}}+\dfrac{2v{v}'}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=0$ → ${v}'=-\dfrac{{{\omega }^{2}}}{v}x$
→ $\left\{ \begin{aligned}
& {{k}_{1}}={v}'\left( {{x}_{M}} \right) \\
& {{k}_{2}}={v}'\left( {{x}_{N}} \right) \\
\end{aligned} \right. $ → $ \dfrac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}=\dfrac{{{v}_{N}}{{x}_{M}}}{{{v}_{M}}{{x}_{N}}}=\dfrac{\sqrt{{{A}^{2}}-x_{N}^{2}}}{\sqrt{{{A}^{2}}-x_{M}^{2}}}.\dfrac{{{x}_{M}}}{{{x}_{N}}}=\dfrac{\sqrt{{{1}^{2}}-{{\left( 0,5 \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{1}^{2}}-{{\left( 0,25 \right)}^{2}}}}.\left( \dfrac{0,25}{0,5} \right)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$.
Đáp án A.