Google
Câu hỏi: Một sợi dây kim loại dài $a\left( cm \right).$ Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài $x\left( cm \right)$ được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông $\left( a>x>0 \right).$ Tìm $x$ để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.
A. $x=\dfrac{a}{\pi +4}\left( cm \right)$
B. $x=\dfrac{2a}{\pi +4}\left( cm \right)$
C. $x=\dfrac{\pi a}{\pi +4}\left( cm \right)$
D. $x=\dfrac{4a}{\pi +4}\left( cm \right)$
A. $x=\dfrac{a}{\pi +4}\left( cm \right)$
B. $x=\dfrac{2a}{\pi +4}\left( cm \right)$
C. $x=\dfrac{\pi a}{\pi +4}\left( cm \right)$
D. $x=\dfrac{4a}{\pi +4}\left( cm \right)$
Phương pháp:
- Tính độ dài bán kính hình tròn và cạnh của hình vuông.
- Tính diện tích hình tròn bán kính $r$ là $S=\pi {{r}^{2}}$ và diện tích hình vuông cạnh $a$ là $S={{a}^{2}}.$
- Tính tổng diện tích, sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN.
Cách giải:
Do $x$ là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn $0<x<a.$ Suy ra chiều dài đoạn còn lại là $a=x.$
Gọi $r$ là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn: $2\pi r=x\Rightarrow r=\dfrac{x}{2\pi }.$
Do đó diện tích hình tròn là: ${{S}_{1}}=\pi .{{r}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{4\pi }.$
Chu vi hình vuông là $a-x\Rightarrow $ Cạnh hình vuông là $\dfrac{a-x}{4}.$ Do đó diện tích hình vuông: ${{S}_{1}}={{\left( \dfrac{a-x}{4} \right)}^{2}}.$
Tổng diện tích hai hình:
$S=\dfrac{{{x}^{2}}}{4\pi }+{{\left( \dfrac{a-x}{4} \right)}^{2}}$
$=\dfrac{4{{x}^{2}}+\pi {{\left( a-x \right)}^{2}}}{16\pi }$
$=\dfrac{\left( 4+\pi \right).{{x}^{2}}-2a\pi x+\pi {{a}^{2}}}{16\pi }$
Xét hàm số $S\left( x \right)=\dfrac{\left( 4+\pi \right).{{x}^{2}}-2a\pi x+\pi {{a}^{2}}}{16\pi }$ ta có: $S'\left( x \right)=\dfrac{2\left( 4+\pi \right).x-2a\pi }{16\pi }=\dfrac{\left( 4+\pi \right).x-a\pi }{8\pi }.$
Cho $S'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( 4+\pi \right)x-a\pi =0\Leftrightarrow x=\dfrac{a\pi }{4+\pi }.$ Ta có BBT như sau:
Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại $x=\dfrac{a\pi }{4+\pi }.$
Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\dfrac{a\pi }{4+\pi }.$
- Tính độ dài bán kính hình tròn và cạnh của hình vuông.
- Tính diện tích hình tròn bán kính $r$ là $S=\pi {{r}^{2}}$ và diện tích hình vuông cạnh $a$ là $S={{a}^{2}}.$
- Tính tổng diện tích, sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN.
Cách giải:
Do $x$ là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn $0<x<a.$ Suy ra chiều dài đoạn còn lại là $a=x.$
Gọi $r$ là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn: $2\pi r=x\Rightarrow r=\dfrac{x}{2\pi }.$
Do đó diện tích hình tròn là: ${{S}_{1}}=\pi .{{r}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{4\pi }.$
Chu vi hình vuông là $a-x\Rightarrow $ Cạnh hình vuông là $\dfrac{a-x}{4}.$ Do đó diện tích hình vuông: ${{S}_{1}}={{\left( \dfrac{a-x}{4} \right)}^{2}}.$
Tổng diện tích hai hình:
$S=\dfrac{{{x}^{2}}}{4\pi }+{{\left( \dfrac{a-x}{4} \right)}^{2}}$
$=\dfrac{4{{x}^{2}}+\pi {{\left( a-x \right)}^{2}}}{16\pi }$
$=\dfrac{\left( 4+\pi \right).{{x}^{2}}-2a\pi x+\pi {{a}^{2}}}{16\pi }$
Xét hàm số $S\left( x \right)=\dfrac{\left( 4+\pi \right).{{x}^{2}}-2a\pi x+\pi {{a}^{2}}}{16\pi }$ ta có: $S'\left( x \right)=\dfrac{2\left( 4+\pi \right).x-2a\pi }{16\pi }=\dfrac{\left( 4+\pi \right).x-a\pi }{8\pi }.$
Cho $S'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( 4+\pi \right)x-a\pi =0\Leftrightarrow x=\dfrac{a\pi }{4+\pi }.$ Ta có BBT như sau:
Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại $x=\dfrac{a\pi }{4+\pi }.$
Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\dfrac{a\pi }{4+\pi }.$
Đáp án C.