Một sợi dây kim loại dài $120cm$ được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốnthành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn...

Phương pháp:
- Đặt cạnh hình vuông là $x\left( cm \right)$, bán kính hình tròn là $y\left( cm \right).$
- Tính chu vi hình vuông và chu vi hình tròn, suy ra tổng 2 chu vi bằng $120cm.$
- Tính diện tích hình vuông, diện tích hình tròn và tính tổng.
-Sử dụng BĐT Bunhiacopxki: ${{\left( ax+by \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right).$ Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}.$
Cách giải:
Đặt cạnh hình vuông là $x\left( cm \right),$ bán kính hình tròn là $y\left( cm \right).$
$\Rightarrow $ Độ dài đoạn dây thứ nhất là $4x\left( cm \right),$ độ dài đoạn dây thứ hai là $2\pi y\left( cm \right).$
$\Rightarrow 4x+2\pi y=120\Leftrightarrow 2x+\pi y=60\left( cm \right)\left( * \right).$
Diện tích hình vuông là ${{x}^{2}}\left( c{{m}^{2}} \right).$
Diện tích hình tròn là $\pi {{y}^{2}}\left( c{{m}^{2}} \right).$
Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là: ${{x}^{2}}+\pi {{y}^{2}}\left( c{{m}^{2}} \right)$.
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
${{60}^{2}}={{\left( 2x+\pi y \right)}^{2}}={{\left( 2x+\sqrt{\pi }.\sqrt{\pi }y \right)}^{2}}\le \left( {{2}^{2}}+{{\sqrt{\pi }}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+\pi {{y}^{2}} \right)$
$\Rightarrow {{x}^{2}}+\pi {{y}^{2}}\ge \dfrac{{{60}^{2}}}{4+\pi }\approx 504\left( c{{m}^{2}} \right)$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{x}{2}=\dfrac{\sqrt{\pi }y}{\sqrt{\pi }}\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}=y,$ kết hợp (*)
$\Rightarrow 4y+\pi y=60\left( cm \right)\Leftrightarrow y=\dfrac{60}{4+\pi }\left( cm \right)\Rightarrow x=\dfrac{120}{4+\pi }\left( cm \right).$
Vậy tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất $504\left( c{{m}^{2}} \right).$