Google
Câu hỏi: Một nút chai thủy tinh là khối tròn xoay $\left(H \right)$, một mặt phẳng chứa trục của $\left(H \right)$ cắt $\left(H \right)$ theo một thiết diện như trong hình vẽ bên dưới. Tính thể tích $V$ của $\left(H \right)$.
A. $V=23\pi \left(c{{m}^{3}} \right)$.
B. $V=13\pi \left(c{{m}^{3}} \right)$.
C. $V=17\pi \left(c{{m}^{3}} \right)$.
D. $V=\dfrac{41\pi }{3}\left(c{{m}^{3}} \right)$.
A. $V=23\pi \left(c{{m}^{3}} \right)$.
B. $V=13\pi \left(c{{m}^{3}} \right)$.
C. $V=17\pi \left(c{{m}^{3}} \right)$.
D. $V=\dfrac{41\pi }{3}\left(c{{m}^{3}} \right)$.
Cách 1.
Gọi tên các điểm trên thiết diện của $\left( H \right)$ khi cắt bởi mặt phẳng chứa trục của $\left( H \right)$ như hình vẽ.
Khối nón sinh bởi tam giác $SAB$ khi quay quanh trục $OS$ có chiều cao $OS=4 cm$, bán kính đáy $OA=2 cm$ nên có thể tích ${{V}_{1}}$ là ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi .O{{A}^{2}}.OS$ $=\dfrac{16\pi }{3} \left( c{{m}^{3}} \right)$.
Khối nón sinh bởi tam giác $SEF$ khi quay quanh trục ${{O}_{1}}S$ có chiều cao ${{O}_{1}}S=2 cm$, bán kính đáy ${{O}_{1}}E=1 cm$ nên có thể tích ${{V}_{2}}$ là ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi .{{O}_{1}}{{E}^{2}}.{{O}_{1}}S$ $=\dfrac{2\pi }{3} \left( c{{m}^{3}} \right)$.
Khối trụ sinh bởi hình chữ nhật $MNPQ$ khi quay quanh trục ${{O}_{1}}{{O}_{2}}$ có chiều cao ${{O}_{1}}{{O}_{2}}=4 cm$, bán kính đáy ${{O}_{1}}M=1,5 cm$ nên có thể tích ${{V}_{3}}$ là ${{V}_{3}}=\pi .{{O}_{1}}{{M}^{2}}.{{O}_{1}}{{O}_{2}}$ $=9\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$.
Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay $\left( H \right)$. Ta có. $V={{V}_{1}}+{{V}_{3}}-{{V}_{2}}=\dfrac{41\pi }{3} \left( c{{m}^{3}} \right)$.
Vậy $V=\dfrac{41\pi }{3} \left( c{{m}^{3}} \right)$.
Cách 2.
Dựa vào hình vẽ ta có thể tích $V$ của nút chai bằng tổng thể tích ${{V}_{1}}$ của khối trụ được tạo thành khi quay hình chữ nhật $MNPQ$ quanh trục ${{O}_{1}}{{O}_{2}}$ và thể tích ${{V}_{2}}$ của khối nón cụt khi quay hình thang cân $ABFE$ quanh trục $O{{O}_{1}}$.
Ta có. ${{V}_{1}}=\pi {{O}_{2}}{{P}^{2}}.NP=\pi .\dfrac{9}{4}.4=9\pi $.
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi h\left( {{R}^{2}}+{{r}^{2}}+Rr \right)=\dfrac{1}{3}\pi .2\left( {{2}^{2}}+{{1}^{2}}+2.1 \right)=\dfrac{14\pi }{3}$.
Suy ra $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=9\pi +\dfrac{14\pi }{3}=\dfrac{41\pi }{3} \left( c{{m}^{3}} \right)$.
Gọi tên các điểm trên thiết diện của $\left( H \right)$ khi cắt bởi mặt phẳng chứa trục của $\left( H \right)$ như hình vẽ.
Khối nón sinh bởi tam giác $SAB$ khi quay quanh trục $OS$ có chiều cao $OS=4 cm$, bán kính đáy $OA=2 cm$ nên có thể tích ${{V}_{1}}$ là ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi .O{{A}^{2}}.OS$ $=\dfrac{16\pi }{3} \left( c{{m}^{3}} \right)$.
Khối nón sinh bởi tam giác $SEF$ khi quay quanh trục ${{O}_{1}}S$ có chiều cao ${{O}_{1}}S=2 cm$, bán kính đáy ${{O}_{1}}E=1 cm$ nên có thể tích ${{V}_{2}}$ là ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi .{{O}_{1}}{{E}^{2}}.{{O}_{1}}S$ $=\dfrac{2\pi }{3} \left( c{{m}^{3}} \right)$.
Khối trụ sinh bởi hình chữ nhật $MNPQ$ khi quay quanh trục ${{O}_{1}}{{O}_{2}}$ có chiều cao ${{O}_{1}}{{O}_{2}}=4 cm$, bán kính đáy ${{O}_{1}}M=1,5 cm$ nên có thể tích ${{V}_{3}}$ là ${{V}_{3}}=\pi .{{O}_{1}}{{M}^{2}}.{{O}_{1}}{{O}_{2}}$ $=9\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$.
Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay $\left( H \right)$. Ta có. $V={{V}_{1}}+{{V}_{3}}-{{V}_{2}}=\dfrac{41\pi }{3} \left( c{{m}^{3}} \right)$.
Vậy $V=\dfrac{41\pi }{3} \left( c{{m}^{3}} \right)$.
Cách 2.
Dựa vào hình vẽ ta có thể tích $V$ của nút chai bằng tổng thể tích ${{V}_{1}}$ của khối trụ được tạo thành khi quay hình chữ nhật $MNPQ$ quanh trục ${{O}_{1}}{{O}_{2}}$ và thể tích ${{V}_{2}}$ của khối nón cụt khi quay hình thang cân $ABFE$ quanh trục $O{{O}_{1}}$.
Ta có. ${{V}_{1}}=\pi {{O}_{2}}{{P}^{2}}.NP=\pi .\dfrac{9}{4}.4=9\pi $.
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi h\left( {{R}^{2}}+{{r}^{2}}+Rr \right)=\dfrac{1}{3}\pi .2\left( {{2}^{2}}+{{1}^{2}}+2.1 \right)=\dfrac{14\pi }{3}$.
Suy ra $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=9\pi +\dfrac{14\pi }{3}=\dfrac{41\pi }{3} \left( c{{m}^{3}} \right)$.
Đáp án D.