Google
Câu hỏi: Một người vay ngân hàng $100$ triệu đồng với lãi suất là $0,7\%$ /tháng theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả ngân hàng $5$ triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối có thể trả dưới $5$ triệu). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng ?
A. $21$.
B. $22$.
C. $23$.
D. $24$.
A. $21$.
B. $22$.
C. $23$.
D. $24$.
Đặt $A=100$ triệu đồng, $r=0,7\%$, $a=5$ triệu đồng và $n$ là số tháng để người đó trả hết nợ ngân hàng. Số tiền người đó còn thiếu ngân hàng sau mỗi tháng được tính như sau:
Tháng thứ $1$ : ${{T}_{1}}=A\left( 1+r \right)-a$.
Tháng thứ 2: ${{T}_{2}}=\left[ A\left( 1+r \right)-a \right]\left( 1+r \right)-a=A{{\left( 1+r \right)}^{2}}-a\left( 1+r \right)-a$.
Tháng thứ $3$ : ${{T}_{3}}=\left[ A{{\left( 1+r \right)}^{2}}-a\left( 1+r \right)-a \right]\left( 1+r \right)-a=A{{\left( 1+r \right)}^{3}}-a{{\left( 1+r \right)}^{2}}-a\left( 1+r \right)-a$.
$\ldots $
Tháng thứ $n$ : ${{T}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-a{{\left( 1+r \right)}^{n-1}}-a{{\left( 1+r \right)}^{n-2}}-\ldots -a\left( 1+r \right)-a$
$\Rightarrow {{T}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-a.\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r}$.
Sau $n$ tháng thì người đó trả hết nợ ngân hàng nên ${{T}_{n}}=0\Leftrightarrow A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-a.\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r}=0$
$\Leftrightarrow n={{\log }_{1+r}}\left( \dfrac{\dfrac{a}{r}}{\dfrac{a}{r}-A} \right)$ $={{\log }_{1,007}}\left( \dfrac{\dfrac{5}{0,007}}{\dfrac{5}{0,007}-100} \right)\approx 21,6$.
Vậy sau $22$ tháng người đó sẽ trả hết nợ ngân hàng.
Tháng thứ $1$ : ${{T}_{1}}=A\left( 1+r \right)-a$.
Tháng thứ 2: ${{T}_{2}}=\left[ A\left( 1+r \right)-a \right]\left( 1+r \right)-a=A{{\left( 1+r \right)}^{2}}-a\left( 1+r \right)-a$.
Tháng thứ $3$ : ${{T}_{3}}=\left[ A{{\left( 1+r \right)}^{2}}-a\left( 1+r \right)-a \right]\left( 1+r \right)-a=A{{\left( 1+r \right)}^{3}}-a{{\left( 1+r \right)}^{2}}-a\left( 1+r \right)-a$.
$\ldots $
Tháng thứ $n$ : ${{T}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-a{{\left( 1+r \right)}^{n-1}}-a{{\left( 1+r \right)}^{n-2}}-\ldots -a\left( 1+r \right)-a$
$\Rightarrow {{T}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-a.\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r}$.
Sau $n$ tháng thì người đó trả hết nợ ngân hàng nên ${{T}_{n}}=0\Leftrightarrow A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-a.\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r}=0$
$\Leftrightarrow n={{\log }_{1+r}}\left( \dfrac{\dfrac{a}{r}}{\dfrac{a}{r}-A} \right)$ $={{\log }_{1,007}}\left( \dfrac{\dfrac{5}{0,007}}{\dfrac{5}{0,007}-100} \right)\approx 21,6$.
Vậy sau $22$ tháng người đó sẽ trả hết nợ ngân hàng.
Đáp án B.