Google
Câu hỏi: Một người nông dân có 3 tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài $16m$ và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông dạng hình thang cân $ABCD$ như hình vẽ, trong đó bờ sông là đường thẳng $DC$ không phải rào và mỗi tấm là một cạnh của hình thang. Hỏi ông ấy có thể rào một mảnh vườn với diện tích lớn nhất bao nhiêu ${{m}^{2}}$ ?
A. $192\sqrt{3}{{m}^{2}}$.
B. $196\sqrt{3}{{m}^{2}}$.
C. $190\sqrt{3}{{m}^{2}}$.
D. $194\sqrt{3}{{m}^{2}}$.
A. $192\sqrt{3}{{m}^{2}}$.
B. $196\sqrt{3}{{m}^{2}}$.
C. $190\sqrt{3}{{m}^{2}}$.
D. $194\sqrt{3}{{m}^{2}}$.
Gọi $x \left( m, 0<x<16 \right)$ là độ dài chiều cao của hình thang.
Khi đó diện tích hình thang là:
$S=\dfrac{1}{2}\left( 16+16+2\sqrt{{{16}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)x=16x+x\sqrt{{{16}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=16x+x\sqrt{{{16}^{2}}-{{x}^{2}}}$ với $0<x<16$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=16+\dfrac{{{16}^{2}}-2{{h}^{2}}}{\sqrt{{{16}^{2}}-{{h}^{2}}}}$.
Khi đó ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 16+\dfrac{{{16}^{2}}-2{{x}^{2}}}{\sqrt{{{16}^{2}}-{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-192=0\Leftrightarrow x=8\sqrt{3}$.
Bảng biến thiên
Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là $192\sqrt{3}{{m}^{2}}$.
Khi đó diện tích hình thang là:
$S=\dfrac{1}{2}\left( 16+16+2\sqrt{{{16}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)x=16x+x\sqrt{{{16}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=16x+x\sqrt{{{16}^{2}}-{{x}^{2}}}$ với $0<x<16$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=16+\dfrac{{{16}^{2}}-2{{h}^{2}}}{\sqrt{{{16}^{2}}-{{h}^{2}}}}$.
Khi đó ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 16+\dfrac{{{16}^{2}}-2{{x}^{2}}}{\sqrt{{{16}^{2}}-{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-192=0\Leftrightarrow x=8\sqrt{3}$.
Bảng biến thiên
Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là $192\sqrt{3}{{m}^{2}}$.
Đáp án A.