Google
Câu hỏi: Một mạch điện xoay chiều AB gồm điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm L, tụ điện C theo thứ tự mắc nối tiếp, với 2L > CR2. Gọi M là điểm nối giữa cuộn dây L và tụ điện C. Đặt vào 2 đầu đoạn mạch 1 điện áp xoay chiều có biểu thức $u=U\sqrt{2}\text{cos}\omega \text{t}$ với $\omega $ thay đổi được. Thay đổi $\omega $ để điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt giá trị cực đại khi đó ${{U}_{{{C}_{\text{max}}}}}=\dfrac{5}{4}U$. Hệ số công suất của đoạn mạch AM là
A. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
B. $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
C. $\dfrac{1}{\sqrt{7}}$.
D. $\dfrac{2}{\sqrt{7}}$.
A. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
B. $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
C. $\dfrac{1}{\sqrt{7}}$.
D. $\dfrac{2}{\sqrt{7}}$.
Ta có:
${{U}_{C}}=I.{{Z}_{C}}=\dfrac{U}{\omega C\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( \omega L-\dfrac{1}{\omega C} \right)}^{2}}}}=\dfrac{U}{C\sqrt{{{\omega }^{2}}\left( {{R}^{2}}+{{\omega }^{2}}{{L}^{2}}+\dfrac{1}{{{\omega }^{2}}{{C}^{2}}}-\dfrac{2L}{C} \right)}}=\dfrac{U}{C\sqrt{Y}}$
$\Rightarrow {{U}_{C}}={{U}_{C\max }}$ khi $Y={{L}^{2}}{{\omega }^{4}}+\left( {{R}^{2}}-2\dfrac{L}{C} \right){{\omega }^{2}}+\dfrac{1}{{{C}^{2}}}$ có giá trị cực tiểu ${{Y}_{\min }}$
Đặt $x={{\text{w}}^{2}},Y={{L}^{2}}{{x}^{2}}+\left( {{R}^{2}}-2\dfrac{L}{C} \right).x+\dfrac{1}{{{C}^{2}}}$
Lấy đạo hàm của Y theo x, cho $Y'=0$
$x={{\omega }^{2}}=\dfrac{\dfrac{2L}{C}-{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}=\dfrac{1}{LC}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}\Rightarrow \omega =\dfrac{1}{L}\sqrt{\dfrac{L}{C}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2}}$
Thay vào biểu thức ${{U}_{C}}$ ta được:
${{U}_{Cm\text{ax}}}=\dfrac{2UL}{R\sqrt{4LC-{{R}^{2}}{{C}^{2}}}}=\dfrac{5}{4}U\Rightarrow 64{{L}^{2}}=100LC{{R}^{2}}-25{{C}^{2}}{{R}^{4}}$
$\Rightarrow 25{{C}^{2}}{{R}^{4}}-100LC{{R}^{2}}+64{{L}^{2}}=0\left( * \right)$
Phương trình có hai nghiệm:
${{R}^{2}}=\dfrac{50L\pm 30L}{25{{C}^{2}}}=\dfrac{50L\pm 30L}{25C}$
Loại nghiệm ${{R}^{2}}=\dfrac{80L}{25C}=3,2\dfrac{L}{C}$ (vì theo bài ra $2L>C{{R}^{2}}$ )
$\Rightarrow {{R}^{2}}=\dfrac{20L}{25C}=0,8\dfrac{L}{C}\Rightarrow \dfrac{L}{C}=1,25.{{R}^{2}}$
Hệ số công suất của đoạn mạch AM:
$\cos {{\varphi }_{AM}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\omega }^{2}}.{{L}^{2}}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+\left( \dfrac{1}{LC}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}} \right).{{L}^{2}}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+\dfrac{L}{C}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{7}}$
${{\omega }_{c}}=\sqrt{\dfrac{1}{LC}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}}$
Khi đó ${{U}_{C\max }}=\dfrac{U}{\sqrt{t.\left( 2-t \right)}}$ (với $t=\dfrac{{{R}^{2}}C}{2L}$ )
- Hệ quả của bài toán trên
$\begin{aligned}
& +){{R}^{2}}=2{{Z}_{L}}\left( {{Z}_{C}}-{{Z}_{L}} \right)\Rightarrow {{Z}_{C}}>{{Z}_{L}} \\
& +)\tan {{\varphi }_{RL}}.\tan \varphi =-\dfrac{1}{2} \\
& +)Z_{C}^{2}={{Z}^{2}}+Z_{L}^{2} \\
& +)\dfrac{\omega _{C}^{2}}{\omega _{R}^{2}}=\dfrac{{{Z}_{L}}}{{{Z}_{C}}}<1\Rightarrow {{\omega }_{C}}<{{\omega }_{R}} \\
\end{aligned}$
${{U}_{C}}=I.{{Z}_{C}}=\dfrac{U}{\omega C\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( \omega L-\dfrac{1}{\omega C} \right)}^{2}}}}=\dfrac{U}{C\sqrt{{{\omega }^{2}}\left( {{R}^{2}}+{{\omega }^{2}}{{L}^{2}}+\dfrac{1}{{{\omega }^{2}}{{C}^{2}}}-\dfrac{2L}{C} \right)}}=\dfrac{U}{C\sqrt{Y}}$
$\Rightarrow {{U}_{C}}={{U}_{C\max }}$ khi $Y={{L}^{2}}{{\omega }^{4}}+\left( {{R}^{2}}-2\dfrac{L}{C} \right){{\omega }^{2}}+\dfrac{1}{{{C}^{2}}}$ có giá trị cực tiểu ${{Y}_{\min }}$
Đặt $x={{\text{w}}^{2}},Y={{L}^{2}}{{x}^{2}}+\left( {{R}^{2}}-2\dfrac{L}{C} \right).x+\dfrac{1}{{{C}^{2}}}$
Lấy đạo hàm của Y theo x, cho $Y'=0$
$x={{\omega }^{2}}=\dfrac{\dfrac{2L}{C}-{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}=\dfrac{1}{LC}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}\Rightarrow \omega =\dfrac{1}{L}\sqrt{\dfrac{L}{C}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2}}$
Thay vào biểu thức ${{U}_{C}}$ ta được:
${{U}_{Cm\text{ax}}}=\dfrac{2UL}{R\sqrt{4LC-{{R}^{2}}{{C}^{2}}}}=\dfrac{5}{4}U\Rightarrow 64{{L}^{2}}=100LC{{R}^{2}}-25{{C}^{2}}{{R}^{4}}$
$\Rightarrow 25{{C}^{2}}{{R}^{4}}-100LC{{R}^{2}}+64{{L}^{2}}=0\left( * \right)$
Phương trình có hai nghiệm:
${{R}^{2}}=\dfrac{50L\pm 30L}{25{{C}^{2}}}=\dfrac{50L\pm 30L}{25C}$
Loại nghiệm ${{R}^{2}}=\dfrac{80L}{25C}=3,2\dfrac{L}{C}$ (vì theo bài ra $2L>C{{R}^{2}}$ )
$\Rightarrow {{R}^{2}}=\dfrac{20L}{25C}=0,8\dfrac{L}{C}\Rightarrow \dfrac{L}{C}=1,25.{{R}^{2}}$
Hệ số công suất của đoạn mạch AM:
$\cos {{\varphi }_{AM}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\omega }^{2}}.{{L}^{2}}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+\left( \dfrac{1}{LC}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}} \right).{{L}^{2}}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+\dfrac{L}{C}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{7}}$
Note 5:
Bài toán f biến thiên để ${{U}_{C\max }}$ ${{\omega }_{c}}=\sqrt{\dfrac{1}{LC}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}}$
Khi đó ${{U}_{C\max }}=\dfrac{U}{\sqrt{t.\left( 2-t \right)}}$ (với $t=\dfrac{{{R}^{2}}C}{2L}$ )
- Hệ quả của bài toán trên
$\begin{aligned}
& +){{R}^{2}}=2{{Z}_{L}}\left( {{Z}_{C}}-{{Z}_{L}} \right)\Rightarrow {{Z}_{C}}>{{Z}_{L}} \\
& +)\tan {{\varphi }_{RL}}.\tan \varphi =-\dfrac{1}{2} \\
& +)Z_{C}^{2}={{Z}^{2}}+Z_{L}^{2} \\
& +)\dfrac{\omega _{C}^{2}}{\omega _{R}^{2}}=\dfrac{{{Z}_{L}}}{{{Z}_{C}}}<1\Rightarrow {{\omega }_{C}}<{{\omega }_{R}} \\
\end{aligned}$
Đáp án D.