Google
Câu hỏi: Một mạch điện gồm biến trở R, tụ điện C và cuộn cảm thuần mắc nối tiếp. Thay đổi giá trị của R, ta được đồ thị thể hiện mối liên hệ giữa công suất của mạch và độ lệch pha $\varphi $ của điện áp hai đầu đoạn mạch so với dòng điện như hình vẽ bên. Hiệu số ${{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}}$ có giá trị gần nhất với:
A. $2,43 rad$
B. $1,28 rad$
C. $0,34 rad$
D. $0,84 rad$
A. $2,43 rad$
B. $1,28 rad$
C. $0,34 rad$
D. $0,84 rad$
Lời giải
Hệ số công suất: $\text{cos}\varphi = \dfrac{R}{Z}= \dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}$
Công suất của đoạn mạch: $P=U.I.\cos \varphi =\dfrac{{{U}^{2}}R}{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{R+\dfrac{{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}{R}}$
${{P}_{\text{max}}}\Leftrightarrow {{R}_{o}}=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|$
Từ đồ thị ta thấy: với hai giá trị khác nhau của $\varphi $ mà ${{P}_{1}}={{P}_{2}}=\dfrac{2}{3}{{P}_{\text{max}}}$.
Thay vào ta được:
$\dfrac{{{U}^{2}}R}{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\dfrac{2}{3}\dfrac{{{U}^{2}}{{R}_{o}}}{R_{o}^{2}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}$ $\Rightarrow \dfrac{{{U}^{2}}R}{{{R}^{2}}+R_{o}^{2}}=\dfrac{2}{3}\dfrac{{{U}^{2}}{{R}_{o}}}{R_{o}^{2}+R_{o}^{2}}$ $\Rightarrow {{R}^{2}}-3{{R}_{o}}R+R_{o}^{2}=0$
Ta có $\Delta ={{b}^{2}}-4ac=9R_{o}^{2}-4R_{o}^{2}=5R_{o}^{2}>0$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${{R}_{1}}=\dfrac{3{{R}_{o}}+\sqrt{5}{{R}_{o}}}{2}; {{R}_{2}}=\dfrac{3{{R}_{o}}-\sqrt{5}{{R}_{o}}}{2}$
Lần lượt thay ${{R}_{1}}; {{R}_{2}}$ vào công thức $\tan \varphi =\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}=\dfrac{{{R}_{o}}}{R}$
Ta được ${{\varphi }_{1}}=0,364 rad$ và ${{\varphi }_{2}}=1,2059 rad$. Do đó $\Delta \varphi ={{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}}=0,841 rad$.
Hệ số công suất: $\text{cos}\varphi = \dfrac{R}{Z}= \dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}$
Công suất của đoạn mạch: $P=U.I.\cos \varphi =\dfrac{{{U}^{2}}R}{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{R+\dfrac{{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}{R}}$
${{P}_{\text{max}}}\Leftrightarrow {{R}_{o}}=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|$
Từ đồ thị ta thấy: với hai giá trị khác nhau của $\varphi $ mà ${{P}_{1}}={{P}_{2}}=\dfrac{2}{3}{{P}_{\text{max}}}$.
Thay vào ta được:
$\dfrac{{{U}^{2}}R}{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\dfrac{2}{3}\dfrac{{{U}^{2}}{{R}_{o}}}{R_{o}^{2}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}$ $\Rightarrow \dfrac{{{U}^{2}}R}{{{R}^{2}}+R_{o}^{2}}=\dfrac{2}{3}\dfrac{{{U}^{2}}{{R}_{o}}}{R_{o}^{2}+R_{o}^{2}}$ $\Rightarrow {{R}^{2}}-3{{R}_{o}}R+R_{o}^{2}=0$
Ta có $\Delta ={{b}^{2}}-4ac=9R_{o}^{2}-4R_{o}^{2}=5R_{o}^{2}>0$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${{R}_{1}}=\dfrac{3{{R}_{o}}+\sqrt{5}{{R}_{o}}}{2}; {{R}_{2}}=\dfrac{3{{R}_{o}}-\sqrt{5}{{R}_{o}}}{2}$
Lần lượt thay ${{R}_{1}}; {{R}_{2}}$ vào công thức $\tan \varphi =\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}=\dfrac{{{R}_{o}}}{R}$
Ta được ${{\varphi }_{1}}=0,364 rad$ và ${{\varphi }_{2}}=1,2059 rad$. Do đó $\Delta \varphi ={{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}}=0,841 rad$.
Đáp án D.