Google
Câu hỏi: Một loại kẹo có hình dạng là khối cầu với bán kính bằng $1cm$ được đặt trong vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều (các mặt của vỏ tiếp xúc với kẹo). Biết rằng khối chóp đều tạo thành từ vỏ kẹo đó có thể tích bé nhất, tính tổng diện tích tất cả các mặt xung quanh của vỏ kẹo:
A. $12c{{m}^{2}}.$
B. $48c{{m}^{2}}.$
C. $36c{{m}^{2}}.$
D. $24c{{m}^{2}}.$
Giả sử vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O,$ cạnh $a,$ đường cao $SO=h.$ Loại kẹo có hình dạng là khối cầu có tâm $I.$
Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CD$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $I$ trên $SM\Rightarrow K$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left( SCD \right)$.
$\Rightarrow OI=OK=1.$
Dễ thấy $\Delta SKI\backsim \Delta SOM\Rightarrow \dfrac{SI}{SM}=\dfrac{IK}{OM}\Rightarrow \dfrac{SO-OI}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{M}^{2}}}}=\dfrac{IK}{OM}$
$\Rightarrow \dfrac{h-1}{\sqrt{{{h}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{2}}\Rightarrow ah-a=\sqrt{4{{h}^{2}}+{{a}^{2}}}\Rightarrow h=\dfrac{2{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}-4}$
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$V=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}-4}.{{a}^{2}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{{{a}^{4}}}{{{a}^{2}}-4}=\dfrac{2}{3}.\left( {{a}^{2}}-4+\dfrac{16}{{{a}^{2}}-4}+8 \right)\ge \dfrac{2}{3}.\left( 2.4+8 \right)=\dfrac{32}{3}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4=\dfrac{16}{{{a}^{2}}-4}\Leftrightarrow a=2\sqrt{2}.$
$\Rightarrow h=4\Rightarrow OM=\sqrt{2};SM=3\sqrt{2}$
A. $12c{{m}^{2}}.$
B. $48c{{m}^{2}}.$
C. $36c{{m}^{2}}.$
D. $24c{{m}^{2}}.$
Giả sử vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O,$ cạnh $a,$ đường cao $SO=h.$ Loại kẹo có hình dạng là khối cầu có tâm $I.$
Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CD$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $I$ trên $SM\Rightarrow K$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left( SCD \right)$.
$\Rightarrow OI=OK=1.$
Dễ thấy $\Delta SKI\backsim \Delta SOM\Rightarrow \dfrac{SI}{SM}=\dfrac{IK}{OM}\Rightarrow \dfrac{SO-OI}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{M}^{2}}}}=\dfrac{IK}{OM}$
$\Rightarrow \dfrac{h-1}{\sqrt{{{h}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{2}}\Rightarrow ah-a=\sqrt{4{{h}^{2}}+{{a}^{2}}}\Rightarrow h=\dfrac{2{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}-4}$
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$V=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}-4}.{{a}^{2}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{{{a}^{4}}}{{{a}^{2}}-4}=\dfrac{2}{3}.\left( {{a}^{2}}-4+\dfrac{16}{{{a}^{2}}-4}+8 \right)\ge \dfrac{2}{3}.\left( 2.4+8 \right)=\dfrac{32}{3}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4=\dfrac{16}{{{a}^{2}}-4}\Leftrightarrow a=2\sqrt{2}.$
$\Rightarrow h=4\Rightarrow OM=\sqrt{2};SM=3\sqrt{2}$
Đáp án D.