Một loại kẹo có hình dạng là khối cầu với bán kính bằng $1cm$ được đặt trong vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều (các mặt của vỏ tiếp xúc...

Giả sử vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O,$ cạnh $a,$ đường cao $SO=h.$ Loại kẹo có hình dạng là khối cầu có tâm $I.$
Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CD$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $I$ trên $SM\Rightarrow K$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left(SCD\right)$.
$\Rightarrow OI=OK=1.$
Dễ thấy $\mathrm{\Delta }SKI\backsim \mathrm{\Delta }SOM\Rightarrow {\displaystyle \frac{SI}{SM}}={\displaystyle \frac{IK}{OM}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{SO-OI}{\sqrt{S{O}^2+O{M}^2}}}={\displaystyle \frac{IK}{OM}}$
$\Rightarrow {\displaystyle \frac{h-1}{\sqrt{h^2+{\displaystyle \frac{a^2}{4}}}}}={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{a}{2}}}}\Rightarrow ah-a=\sqrt{4h^2+a^2}\Rightarrow h={\displaystyle \frac{2a^2}{a^2-4}}$
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$V={\displaystyle \frac{1}{3}}SO.S_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{2a^2}{a^2-4}}.a^2={\displaystyle \frac{2}{3}}.{\displaystyle \frac{a^4}{a^2-4}}={\displaystyle \frac{2}{3}}.(a^2-4+{\displaystyle \frac{16}{a^2-4}}+8)\ge {\displaystyle \frac{2}{3}}.(2.4+8)={\displaystyle \frac{32}{3}}$
Dấu bằng xảy ra $\iff a^2-4={\displaystyle \frac{16}{a^2-4}}\iff a=2\sqrt{2}.$
$\Rightarrow h=4\Rightarrow OM=\sqrt{2};SM=3\sqrt{2}$