Google
Câu hỏi: Một hình trụ có diện tích xung quanh là $4\pi ,$ thiết diện qua trục là một hình vuông. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện ABB'A', biết một cạnh của thiết diện là một dây của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung 120°. Diện tích của thiết diện $ABB'A'$ bằng:
A. $2\sqrt{3}$
B. $2\sqrt{2}$
C. $3\sqrt{2}$
D. $\sqrt{3}$
A. $2\sqrt{3}$
B. $2\sqrt{2}$
C. $3\sqrt{2}$
D. $\sqrt{3}$
(VD) – Mặt trụ
Phương pháp:
- Diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao $h,$ bán kính đáy $r$ là ${{S}_{xq}}=2\pi rh,$ từ đó tính $rh.$
- Áp dụng định lí Côsin trong tam giác tính dây căng cung 120°. Từ đó tính diện tích thiết diện ABB'A'.
Cách giải:
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là $r,h.$
Theo bài ra ta có: ${{S}_{xq}}=4\pi \Leftrightarrow 2\pi rh=4\pi \Leftrightarrow rh=2.$
Xét tam giác OAB có $OA=OB=r,\angle AOB={{120}^{0}}.$
Áp dụng định lí Côsin trong tam giác ta có:
$A{{B}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-2.OA.OB.\cos \angle AOB$
$A{{B}^{2}}={{r}^{2}}+{{r}^{2}}-2{{r}^{2}}.\dfrac{-1}{2}$
$\begin{aligned}
& A{{B}^{2}}=3{{r}^{2}} \\
& \Rightarrow AB=r\sqrt{3} \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow {{S}_{ABB'A'}}=AB.BB'=r\sqrt{3}.h=\sqrt{3}rh=2\sqrt{3}.$
Phương pháp:
- Diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao $h,$ bán kính đáy $r$ là ${{S}_{xq}}=2\pi rh,$ từ đó tính $rh.$
- Áp dụng định lí Côsin trong tam giác tính dây căng cung 120°. Từ đó tính diện tích thiết diện ABB'A'.
Cách giải:
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là $r,h.$
Theo bài ra ta có: ${{S}_{xq}}=4\pi \Leftrightarrow 2\pi rh=4\pi \Leftrightarrow rh=2.$
Xét tam giác OAB có $OA=OB=r,\angle AOB={{120}^{0}}.$
Áp dụng định lí Côsin trong tam giác ta có:
$A{{B}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-2.OA.OB.\cos \angle AOB$
$A{{B}^{2}}={{r}^{2}}+{{r}^{2}}-2{{r}^{2}}.\dfrac{-1}{2}$
$\begin{aligned}
& A{{B}^{2}}=3{{r}^{2}} \\
& \Rightarrow AB=r\sqrt{3} \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow {{S}_{ABB'A'}}=AB.BB'=r\sqrt{3}.h=\sqrt{3}rh=2\sqrt{3}.$
Đáp án A.