Một hình nón có đỉnh $S$ có bán kính đáý bằng $2a\sqrt{3}$, góc ở...

Cách 1: Gọi thiết diện của hình chóp là $\Delta SCD$, $I$ là trung điểm của $CD$.
Ta có $SO=\dfrac{OB}{\tan 60{}^\circ }=2a$.
Đặt $OI=x$ suy ra
$IC=\sqrt{O{{C}^{2}}-O{{I}^{2}}}$ $=\sqrt{12{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
$SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}$ $=\sqrt{4{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$.
${{S}_{\Delta SCD}}=\dfrac{1}{2}CD.SI$ $=SI.IC$ $=\sqrt{\left( 4{{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)\left( 12{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}$.
$\Rightarrow {{\left( {{S}_{_{\Delta SCD}}} \right)}^{2}}=-{{x}^{4}}+8{{a}^{2}}{{x}^{2}}+48{{a}^{4}}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{4}}+8{{a}^{2}}{{x}^{2}}+48{{a}^{4}}$ với $0<x<2\sqrt{3}a$.
${f}'\left( x \right)=-4{{x}^{3}}+16{{a}^{2}}x$
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm 2a \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy ${{\left( {{S}_{\max }} \right)}^{2}}=64{{a}^{4}}\Rightarrow {{S}_{\max }}=8{{a}^{2}}$.
Cách 2: Gọi thiết diện của hình chóp là $\Delta SCD$.
Vì $\Delta SOB$ vuông tại $O$, có $OB=r=2a\sqrt{3}$, $\widehat{OSB}={{60}^{\text{o}}}$ nên $l=SB$ $=\dfrac{r}{\sin {{60}^{\text{o}}}}=4a$.
Khi đó, ${{S}_{\Delta SCD}}=\dfrac{1}{2}SC.SD.\sin \widehat{CSD}$ $\le \dfrac{1}{2}SC.SD$ $=8{{a}^{2}}$ (vì $\sin \widehat{CSD}\le 1$ ).
Vậy diện tích lớn nhất ${{S}_{\max }}$ của thiết diện đó là $8{{a}^{2}}$ khi $\widehat{CSD}={{90}^{\text{o}}}$.