Google
Câu hỏi: Một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính $R=6,$ biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của đường tròn và hình chữ nhật đó nội tiếp. Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật đó.
A. $18c{{m}^{2}}$
B. $36c{{m}^{2}}$
C. $64c{{m}^{2}}$
D. $96c{{m}^{2}}$
A. $18c{{m}^{2}}$
B. $36c{{m}^{2}}$
C. $64c{{m}^{2}}$
D. $96c{{m}^{2}}$
Phương pháp:
- Đặt một cạnh hình chữ nhật là $2x,$ sử dụng định lí Pytago tính độ dài cạnh còn lại theo $x.$
- Tính diện tích hình chữ nhật.
- Sử dụng BĐT Cô-si: $\sqrt{ab}\le \dfrac{a+b}{2}\left( a,b>0 \right).$ Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b.$
Cách giải:
Đặt tên các điểm như hình vẽ.
Đặt $OA=x\Rightarrow AD=2x.$ Áp dụng định lí Pytago ta có $AB=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{36-{{x}^{2}}}.$
Khi đó ${{S}_{ABCD}}=AD.AB=2x.\sqrt{36-{{x}^{2}}}.$
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $x\sqrt{36-{{x}^{2}}}\le \dfrac{{{x}^{2}}+36-{{x}^{2}}}{2}=18.$
$\Rightarrow {{S}_{ABCD}}\le 2.18=36.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${{x}^{2}}=36-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=18\Leftrightarrow x=3\sqrt{2}.$
Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật $ABCD$ bằng $36c{{m}^{2}}.$
- Đặt một cạnh hình chữ nhật là $2x,$ sử dụng định lí Pytago tính độ dài cạnh còn lại theo $x.$
- Tính diện tích hình chữ nhật.
- Sử dụng BĐT Cô-si: $\sqrt{ab}\le \dfrac{a+b}{2}\left( a,b>0 \right).$ Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b.$
Cách giải:
Đặt tên các điểm như hình vẽ.
Đặt $OA=x\Rightarrow AD=2x.$ Áp dụng định lí Pytago ta có $AB=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{36-{{x}^{2}}}.$
Khi đó ${{S}_{ABCD}}=AD.AB=2x.\sqrt{36-{{x}^{2}}}.$
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $x\sqrt{36-{{x}^{2}}}\le \dfrac{{{x}^{2}}+36-{{x}^{2}}}{2}=18.$
$\Rightarrow {{S}_{ABCD}}\le 2.18=36.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${{x}^{2}}=36-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=18\Leftrightarrow x=3\sqrt{2}.$
Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật $ABCD$ bằng $36c{{m}^{2}}.$
Đáp án B.