Google
Câu hỏi: Một con lắc lò xo gồm lò xo độ cứng $k=25\text{ N/m}$ và vật $m$ có khối lượng 300 g nằm ngang trong đó ma sát giữa vật $m$ và sàn có thể bỏ qua. Vật $M$ khối lượng 200 g được nối với vật $m$ bằng một sợi dây nhẹ, dài và không dãn như hình vẽ. Hệ số ma sát trượt giữa $M$ và sàn là 0,25. Lúc đầu vật
$m$ được giữ ở vị trí lò xo dãn 10 cm (trong giới hạn đàn hồi), sợi dây căng. Thả nhẹ vật $m$ để hệ chuyển động. Lấy $g=10\text{ m/}{{\text{s}}^{\text{2}}}$. Tính từ thời điểm lò xo bị nén mạnh nhất lần đầu tiên, tốc độ cực đại của vật $m$ là
A. 54,8 cm/s.
B. 42,4 cm/s.
C. 28,3 cm/s.
D. 52,0 cm/s.
Để đơn giản ta có thể chia quá trình chuyển động của vật thành 3 giai đoạn như sau:
Giai đoạn 1: Hệ hai vật $m$ và $M$ dao động điều hòa chịu tác dụng thêm của lực ma sát.
Trong giai đoạn này, vật $m$ dao động quanh vị trí cân bằng tạm ${O}'$, tại vi trí này lực đàn hồi của lò xo cân bằng với lực đàn hồi, khi đó lò xo giãn một đoạn $O{O}'=\Delta {{l}_{o}}=\dfrac{\mu Mg}{k}=\dfrac{0,25.0,2.10}{25}=2\text{ cm}$.
+ Biên độ dao động của vật là ${{A}_{1}}=10-2=8\text{ cm}$, tốc độ góc ${{\omega }_{1}}=\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}=\sqrt{\dfrac{25}{0,3+0,2}}=5\sqrt{2}\text{ rad/s}$
Tốc độ của hai vật khi đến vị trí ${O}'$ : $v={{v}_{1\max }}={{\omega }_{1}}{{A}_{2}}=5\sqrt{2}.8=40\sqrt{2}\text{ cm/s}$.
Giai đoạn 2: Hệ hai vật tiếp tục dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng ${O}'$ cho đến khi dây bị chùng và vật $m$ tách ra khỏi vật $M$
+ Tại vị trí vật $m$ tách ra khỏi vật $M$ dây bị chùng $T=0$ với vật $M$ ta có:
${{F}_{mst}}=M\omega _{1}^{2}\left| x \right|\to \left| x \right|=\dfrac{\mu g}{\omega _{1}^{2}}=\dfrac{0,25.10}{{{\left( 5\sqrt{2} \right)}^{2}}}=5\text{ cm}$.
Tốc độ của vật $m$ tại vị trí dây chùng ${{v}_{02}}={{\omega }_{1}}\sqrt{A_{1}^{2}-{{x}^{2}}}=5\sqrt{2}\sqrt{{{8}^{2}}-{{5}^{2}}}=5\sqrt{78}\text{ cm/s}$.
Giai đoạn 3: Khi tách khỏi vật $M$, $m$ dao động điều hòa quanh vị trí lò xo không biến dạng O.
+ Tần số góc trong giai đoạn này ${{\omega }_{2}}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{25}{0,3}}=\dfrac{5\sqrt{30}}{3}\text{ rad/s}$.
Biên độ dao động trong giai đoạn này: ${{A}_{2}}=\sqrt{x_{02}^{2}+{{\left( \dfrac{{{v}_{02}}}{{{\omega }_{2}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( \dfrac{5\sqrt{78}}{\dfrac{5\sqrt{30}}{3}} \right)}^{2}}}=\dfrac{9\sqrt{10}}{5}\text{ cm}$.
Giai đoạn 4: Con lắc dao động điều hòa ổn định không với biên độ $A={{A}_{2}}$ và một chịu tác dụng của vật $M$ Tốc độ cực đại ${{v}_{2\max }}={{\omega }_{2}}{{A}_{2}}=\dfrac{5\sqrt{30}}{3}.\dfrac{9\sqrt{10}}{5}=30\sqrt{3}\approx 52,0\text{ cm/s}$.
Chú ý:
+ Ta để ý rằng khi vật $m$ đi qua khỏi vị trí cân bằng tạm ${O}'$ thì tốc độ có xu hướng giảm, ngay lập tức dây chùng vật $m$ sẽ tiếp tục dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O tốc độ lại có xu hướng tăng do đó trong giai đoạn từ ${O}'$ đến O dây vẫn được giữ căng.
$m$ được giữ ở vị trí lò xo dãn 10 cm (trong giới hạn đàn hồi), sợi dây căng. Thả nhẹ vật $m$ để hệ chuyển động. Lấy $g=10\text{ m/}{{\text{s}}^{\text{2}}}$. Tính từ thời điểm lò xo bị nén mạnh nhất lần đầu tiên, tốc độ cực đại của vật $m$ là
B. 42,4 cm/s.
C. 28,3 cm/s.
D. 52,0 cm/s.
Giai đoạn 1: Hệ hai vật $m$ và $M$ dao động điều hòa chịu tác dụng thêm của lực ma sát.
Trong giai đoạn này, vật $m$ dao động quanh vị trí cân bằng tạm ${O}'$, tại vi trí này lực đàn hồi của lò xo cân bằng với lực đàn hồi, khi đó lò xo giãn một đoạn $O{O}'=\Delta {{l}_{o}}=\dfrac{\mu Mg}{k}=\dfrac{0,25.0,2.10}{25}=2\text{ cm}$.
+ Biên độ dao động của vật là ${{A}_{1}}=10-2=8\text{ cm}$, tốc độ góc ${{\omega }_{1}}=\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}=\sqrt{\dfrac{25}{0,3+0,2}}=5\sqrt{2}\text{ rad/s}$
Tốc độ của hai vật khi đến vị trí ${O}'$ : $v={{v}_{1\max }}={{\omega }_{1}}{{A}_{2}}=5\sqrt{2}.8=40\sqrt{2}\text{ cm/s}$.
Giai đoạn 2: Hệ hai vật tiếp tục dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng ${O}'$ cho đến khi dây bị chùng và vật $m$ tách ra khỏi vật $M$
+ Tại vị trí vật $m$ tách ra khỏi vật $M$ dây bị chùng $T=0$ với vật $M$ ta có:
${{F}_{mst}}=M\omega _{1}^{2}\left| x \right|\to \left| x \right|=\dfrac{\mu g}{\omega _{1}^{2}}=\dfrac{0,25.10}{{{\left( 5\sqrt{2} \right)}^{2}}}=5\text{ cm}$.
Tốc độ của vật $m$ tại vị trí dây chùng ${{v}_{02}}={{\omega }_{1}}\sqrt{A_{1}^{2}-{{x}^{2}}}=5\sqrt{2}\sqrt{{{8}^{2}}-{{5}^{2}}}=5\sqrt{78}\text{ cm/s}$.
Giai đoạn 3: Khi tách khỏi vật $M$, $m$ dao động điều hòa quanh vị trí lò xo không biến dạng O.
+ Tần số góc trong giai đoạn này ${{\omega }_{2}}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{25}{0,3}}=\dfrac{5\sqrt{30}}{3}\text{ rad/s}$.
Biên độ dao động trong giai đoạn này: ${{A}_{2}}=\sqrt{x_{02}^{2}+{{\left( \dfrac{{{v}_{02}}}{{{\omega }_{2}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( \dfrac{5\sqrt{78}}{\dfrac{5\sqrt{30}}{3}} \right)}^{2}}}=\dfrac{9\sqrt{10}}{5}\text{ cm}$.
Giai đoạn 4: Con lắc dao động điều hòa ổn định không với biên độ $A={{A}_{2}}$ và một chịu tác dụng của vật $M$ Tốc độ cực đại ${{v}_{2\max }}={{\omega }_{2}}{{A}_{2}}=\dfrac{5\sqrt{30}}{3}.\dfrac{9\sqrt{10}}{5}=30\sqrt{3}\approx 52,0\text{ cm/s}$.
Chú ý:
+ Ta để ý rằng khi vật $m$ đi qua khỏi vị trí cân bằng tạm ${O}'$ thì tốc độ có xu hướng giảm, ngay lập tức dây chùng vật $m$ sẽ tiếp tục dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O tốc độ lại có xu hướng tăng do đó trong giai đoạn từ ${O}'$ đến O dây vẫn được giữ căng.
Đáp án D.