Google
Câu hỏi: Một con lắc lò xo gồm lò xo độ cứng $k=25$ N/m và vật m có khối lượng 300 g nằm ngang trong đó ma sát giữa vật m và sàn có thể bỏ qua. Vật M khối lượng 200 g được nối với vật m bằng một sợi dây nhẹ, dài và không dãn như hình vẽ. Hệ số ma sát trượt giữa M và sàn là 0,25. Lúc đầu vật m được giữ ở vị trí lò xo dãn 10 cm (trong giới hạn đàn hồi), sợi dây căng. Thả nhẹ vật m để hệ chuyển động. Lấy $g=10$ m/s2. Tính từ thời điểm lò xo bị nén mạnh nhất lần đầu tiên, tốc độ cực đại của vật m là
A. 54,8 cm/s.
B. 42,4 cm/s.
C. 28,3 cm/s.
D. 52,0 cm/s.
Để đơn giản ta có thể chia quá trình chuyển động của vật thành 3 giai đoạn như sua:
Giai đoạn 1: Hệ hai vật m và M dao động điều hòa chịu tác dụng thêm của lực ma sát:
→ Trong giai đoạn này vật m dao động quanh vị trí cân bằng tạm ${O}'$, tại vị trí này lực đàn hồi của lò xo cân bằng với lực đàn hồi, khi đó lò xo giãn một đoạn $\text{O{O}'}=\Delta {{l}_{0}}=\dfrac{\mu Mg}{k}=\dfrac{0,25.0,2.10}{25}=2cm$.
+ Biên độ dao động của vật là ${{A}_{1}}=10-2=8cm$, tốc độ góc ${{\omega }_{1}}=\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}=\sqrt{\dfrac{25}{0,3+0,2}}=5\sqrt{2}\text{ rad/s}$
→ Tốc độ của hai vật khi đến vị trí ${O}'$ : $v={{v}_{1\max }}={{\omega }_{1}}{{A}_{2}}=5\sqrt{2}.8=40\sqrt{2}\text{ cm/s}$.
Giai đoạn 2: Hệ hai vật tiếp tục dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng ${O}'$ cho đến khi dây bị chùng và vật m tách ra khỏi vật M
+ Tại vị trí vật m tách ra khỏi vật M dây bị chùng, T = 0 → với vật M ta có
${{F}_{m\text{s}t}}=M\omega _{1}^{2}\left| x \right|\to \left| x \right|=\dfrac{\mu g}{\omega _{1}^{2}}=\dfrac{0,25.10}{{{\left( 5\sqrt{2} \right)}^{2}}}=5cm$
→ Tốc độ của vật m tại vị trí dây chùng ${{v}_{02}}={{\omega }_{1}}\sqrt{A_{1}^{2}-{{x}^{2}}}=5\sqrt{2}.\sqrt{{{8}^{2}}-{{5}^{2}}}=5\sqrt{78}\text{ cm/s}$.
Giai đoạn 3: Khi tách ra khỏi vật M, m dao động điều hòa quanh vị trí lò xo không biến dạng O.
+ Tần sóo góc trong giai đoạn này ${{\omega }_{2}}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{0,25}{0,3}}=\dfrac{5\sqrt{30}}{3}\text{rad/s}$.
→ Biên độ dao động trong giai đoạn này ${{A}_{2}}=\sqrt{x_{02}^{2}+{{\left( \dfrac{{{v}_{02}}}{{{\omega }_{2}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( \dfrac{5\sqrt{78}}{\dfrac{5\sqrt{30}}{3}} \right)}^{2}}}=\dfrac{9\sqrt{10}}{5}cm$.
Giai đoạn 4: Con lắc dao động điều hòa ổn định không với biên độ $A={{A}_{2}}$ và một chịu tác dụng của vật M.
→ Tốc độ cực đại ${{v}_{2\max }}={{\omega }_{2}}{{A}_{2}}=\dfrac{5\sqrt{30}}{3}.\dfrac{9\sqrt{10}}{5}=30\sqrt{3}\approx 52,0\text{ cm/s}$.
Chú ý: Ta để ý rằng khi vật m đi qua khỏi vị trí cân bằng tạm ${O}'$ thì tốc độ có xu hướng giảm, ngay lập tức dây chùng → vật m sẽ tiếp tục dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O → tốc độ lại có xu hướng tăng do đó trong giai đoạn từ ${O}'$ đến O dây vẫn được giữ căng.
A. 54,8 cm/s.
B. 42,4 cm/s.
C. 28,3 cm/s.
D. 52,0 cm/s.
Để đơn giản ta có thể chia quá trình chuyển động của vật thành 3 giai đoạn như sua:
Giai đoạn 1: Hệ hai vật m và M dao động điều hòa chịu tác dụng thêm của lực ma sát:
→ Trong giai đoạn này vật m dao động quanh vị trí cân bằng tạm ${O}'$, tại vị trí này lực đàn hồi của lò xo cân bằng với lực đàn hồi, khi đó lò xo giãn một đoạn $\text{O{O}'}=\Delta {{l}_{0}}=\dfrac{\mu Mg}{k}=\dfrac{0,25.0,2.10}{25}=2cm$.
+ Biên độ dao động của vật là ${{A}_{1}}=10-2=8cm$, tốc độ góc ${{\omega }_{1}}=\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}=\sqrt{\dfrac{25}{0,3+0,2}}=5\sqrt{2}\text{ rad/s}$
→ Tốc độ của hai vật khi đến vị trí ${O}'$ : $v={{v}_{1\max }}={{\omega }_{1}}{{A}_{2}}=5\sqrt{2}.8=40\sqrt{2}\text{ cm/s}$.
Giai đoạn 2: Hệ hai vật tiếp tục dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng ${O}'$ cho đến khi dây bị chùng và vật m tách ra khỏi vật M
+ Tại vị trí vật m tách ra khỏi vật M dây bị chùng, T = 0 → với vật M ta có
${{F}_{m\text{s}t}}=M\omega _{1}^{2}\left| x \right|\to \left| x \right|=\dfrac{\mu g}{\omega _{1}^{2}}=\dfrac{0,25.10}{{{\left( 5\sqrt{2} \right)}^{2}}}=5cm$
→ Tốc độ của vật m tại vị trí dây chùng ${{v}_{02}}={{\omega }_{1}}\sqrt{A_{1}^{2}-{{x}^{2}}}=5\sqrt{2}.\sqrt{{{8}^{2}}-{{5}^{2}}}=5\sqrt{78}\text{ cm/s}$.
Giai đoạn 3: Khi tách ra khỏi vật M, m dao động điều hòa quanh vị trí lò xo không biến dạng O.
+ Tần sóo góc trong giai đoạn này ${{\omega }_{2}}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{0,25}{0,3}}=\dfrac{5\sqrt{30}}{3}\text{rad/s}$.
→ Biên độ dao động trong giai đoạn này ${{A}_{2}}=\sqrt{x_{02}^{2}+{{\left( \dfrac{{{v}_{02}}}{{{\omega }_{2}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( \dfrac{5\sqrt{78}}{\dfrac{5\sqrt{30}}{3}} \right)}^{2}}}=\dfrac{9\sqrt{10}}{5}cm$.
Giai đoạn 4: Con lắc dao động điều hòa ổn định không với biên độ $A={{A}_{2}}$ và một chịu tác dụng của vật M.
→ Tốc độ cực đại ${{v}_{2\max }}={{\omega }_{2}}{{A}_{2}}=\dfrac{5\sqrt{30}}{3}.\dfrac{9\sqrt{10}}{5}=30\sqrt{3}\approx 52,0\text{ cm/s}$.
Chú ý: Ta để ý rằng khi vật m đi qua khỏi vị trí cân bằng tạm ${O}'$ thì tốc độ có xu hướng giảm, ngay lập tức dây chùng → vật m sẽ tiếp tục dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O → tốc độ lại có xu hướng tăng do đó trong giai đoạn từ ${O}'$ đến O dây vẫn được giữ căng.
Đáp án D.