Google
Câu hỏi: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa, cùng phương, cùng tần số với các biên độ là $6 \mathrm{~cm}$ và $4 \mathrm{~cm}$. Tại thời điểm t, các dao động có li độ lần lượt là $\mathrm{x}_{1}$ và $\mathrm{x}_{2}$. Biết rằng giá trị cực đại của $\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}$ là D, giá trị cực tiểu của $\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}$ là $\dfrac{-\mathrm{D}}{3}$. Biên độ dao động của vật gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. $9,5 \mathrm{~cm}$.
B. $6,8 \mathrm{~cm}$.
C. $7,6 \mathrm{~cm}$.
D. $8,8 \mathrm{~cm}$.
A. $9,5 \mathrm{~cm}$.
B. $6,8 \mathrm{~cm}$.
C. $7,6 \mathrm{~cm}$.
D. $8,8 \mathrm{~cm}$.
Phương trình dao động điều hòa $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\text{x}}_{1}}={{\text{A}}_{1}}.\cos \left( \omega \text{t}+{{\varphi }_{1}} \right) \\
{{\text{x}}_{2}}={{\text{A}}_{2}}.\cos \left( \omega \text{t}+{{\varphi }_{2}} \right) \\
\end{array} \right.$
Xét tích ${{\text{x}}_{1}}\text{.}{{\text{x}}_{2}}={{\text{A}}_{1}}\text{.}{{\text{A}}_{2}}.\dfrac{1}{2}\left[ \cos \left( 2\omega \text{t}+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)+\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right) \right]$
Tích đó có giá trị cực đại khi $\text { Tích dó có giá tr? c?c d?i khi } \cos \left(2 \omega \mathrm{t}+\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)=1 \text { và c?c ti?u khi } \cos \left(2 \omega \mathrm{t}+\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)=-1$ và cực tiểu khi $\cos \left( 2\omega \text{t}+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)=-1$
Khi đó $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\text{x}}_{1}}\text{.}{{\text{x}}_{2}}=\dfrac{1}{2}\text{.}{{\text{A}}_{1}}\text{.}{{\text{A}}_{2}}\left[ 1+\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right) \right]=\text{D}(1) \\
{{\text{x}}_{1}}\text{.}{{\text{x}}_{2}}=\dfrac{1}{2}\text{.}{{\text{A}}_{1}}\text{.}{{\text{A}}_{2}}\left[ -1+\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right) \right]=\dfrac{-\text{D}}{3}(2) \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(1)+(2)\Rightarrow \cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)=\dfrac{2}{3}\dfrac{\text{D}}{{{\text{A}}_{1}}~{{\text{A}}_{2}}}(3) \\
(1)-(2)\Rightarrow {{\text{A}}_{1}}\text{.}{{\text{A}}_{2}}=\dfrac{4}{3}\text{D} (4) \\
\end{array} \right.$
Từ (3) và (4) $\Rightarrow \cos \Delta \varphi =\dfrac{1}{2}$
Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động là: $\text{A}=\sqrt{\text{A}_{1}^{2}+\text{A}_{1}^{2}+2~{{\text{A}}_{1}}~{{\text{A}}_{2}}\cos \Delta \varphi }\approx 8,7(~\text{cm})$
{{\text{x}}_{1}}={{\text{A}}_{1}}.\cos \left( \omega \text{t}+{{\varphi }_{1}} \right) \\
{{\text{x}}_{2}}={{\text{A}}_{2}}.\cos \left( \omega \text{t}+{{\varphi }_{2}} \right) \\
\end{array} \right.$
Xét tích ${{\text{x}}_{1}}\text{.}{{\text{x}}_{2}}={{\text{A}}_{1}}\text{.}{{\text{A}}_{2}}.\dfrac{1}{2}\left[ \cos \left( 2\omega \text{t}+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)+\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right) \right]$
Tích đó có giá trị cực đại khi $\text { Tích dó có giá tr? c?c d?i khi } \cos \left(2 \omega \mathrm{t}+\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)=1 \text { và c?c ti?u khi } \cos \left(2 \omega \mathrm{t}+\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)=-1$ và cực tiểu khi $\cos \left( 2\omega \text{t}+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)=-1$
Khi đó $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\text{x}}_{1}}\text{.}{{\text{x}}_{2}}=\dfrac{1}{2}\text{.}{{\text{A}}_{1}}\text{.}{{\text{A}}_{2}}\left[ 1+\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right) \right]=\text{D}(1) \\
{{\text{x}}_{1}}\text{.}{{\text{x}}_{2}}=\dfrac{1}{2}\text{.}{{\text{A}}_{1}}\text{.}{{\text{A}}_{2}}\left[ -1+\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right) \right]=\dfrac{-\text{D}}{3}(2) \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(1)+(2)\Rightarrow \cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)=\dfrac{2}{3}\dfrac{\text{D}}{{{\text{A}}_{1}}~{{\text{A}}_{2}}}(3) \\
(1)-(2)\Rightarrow {{\text{A}}_{1}}\text{.}{{\text{A}}_{2}}=\dfrac{4}{3}\text{D} (4) \\
\end{array} \right.$
Từ (3) và (4) $\Rightarrow \cos \Delta \varphi =\dfrac{1}{2}$
Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động là: $\text{A}=\sqrt{\text{A}_{1}^{2}+\text{A}_{1}^{2}+2~{{\text{A}}_{1}}~{{\text{A}}_{2}}\cos \Delta \varphi }\approx 8,7(~\text{cm})$
Đáp án D.