Google
Câu hỏi: Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường được thể tích nước tràn ra ngoài là $18\pi $ ( $d{{m}^{3}}$ kính). Biết bằng rằng chiều khối tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng bằng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Thể tích $V$ của nước còn lại trong bình bằng:
A. $6\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$
B. $24\pi \left( d{{m}^{3}} \right).~$
C. $54\pi \left( d{{m}^{3}} \right).~$
D. $12\pi \left( d{{m}^{3}} \right).~$
A. $6\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$
B. $24\pi \left( d{{m}^{3}} \right).~$
C. $54\pi \left( d{{m}^{3}} \right).~$
D. $12\pi \left( d{{m}^{3}} \right).~$
Phương pháp:
Thể tích khối cầu bán kính R là $\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$
Thể tích khối nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là: $\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$
Cách giải:
Gọi $R$ là bán kính khối cầu, $r$ là bán kính đáy của khối nón, $h$ là chiều cao của khối nón.
Theo đề bài, ta có: $h=2R$
Do thể tích nước tràn ra bằng nửa thể tích khối cầu nên ta có:
${{V}_{c}}=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=2.18\pi \Rightarrow R=3(dm)\Rightarrow h=6(dm)$
Tam giác $OAC$ vuông tại $\text{ O},OM\bot AC\Rightarrow \dfrac{1}{O{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{3}^{2}}}=\dfrac{1}{{{r}^{2}}}+\dfrac{1}{{{6}^{2}}}\Leftrightarrow r=2\sqrt{3}(dm)$
Thể tích khối nón là: ${{V}_{\text{non }}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{(2\sqrt{3})}^{2}}.6=24\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$
Thể tích V của nước còn lại trong bình bằng: $V=24\pi -18\pi =6\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$
Thể tích khối cầu bán kính R là $\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$
Thể tích khối nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là: $\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$
Cách giải:
Gọi $R$ là bán kính khối cầu, $r$ là bán kính đáy của khối nón, $h$ là chiều cao của khối nón.
Theo đề bài, ta có: $h=2R$
Do thể tích nước tràn ra bằng nửa thể tích khối cầu nên ta có:
${{V}_{c}}=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=2.18\pi \Rightarrow R=3(dm)\Rightarrow h=6(dm)$
Tam giác $OAC$ vuông tại $\text{ O},OM\bot AC\Rightarrow \dfrac{1}{O{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{3}^{2}}}=\dfrac{1}{{{r}^{2}}}+\dfrac{1}{{{6}^{2}}}\Leftrightarrow r=2\sqrt{3}(dm)$
Thể tích khối nón là: ${{V}_{\text{non }}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{(2\sqrt{3})}^{2}}.6=24\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$
Thể tích V của nước còn lại trong bình bằng: $V=24\pi -18\pi =6\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$
Đáp án A.