Google
Câu hỏi: Mạch điện xoay chiều AB gồm AM và MB ghép nối tiếp, AM có điện trở R, MB là cuộn dây có điện trở trong r và có độ tự cảm L thay đổi được. Mạch được mắc vào nguồn điện có điện áp hiệu dụng không đổi 200 V và tần số 50Hz. Khảo sát độ lệch pha φ giữa ${{u}_{MB}}$ và ${{u}_{AB}}$ thì thu được đồ thị như hình. Công suất tiêu thụ của cuộn dây khi $L=\dfrac{1}{\pi }H\text{ }$ gần đáp án nào nhất sau đây?
A. 23,6 W
B. 120 W
C. 92,4 W
D. 70,6 W
A. 23,6 W
B. 120 W
C. 92,4 W
D. 70,6 W
Phương pháp:
Cảm kháng của cuộn dây: ${{Z}_{L}}=2\pi fL$
Độ lệch pha của hiệu điện thế và cường độ dòng điện: $\tan \varphi =\dfrac{{{Z}_{L}}}{R+r}$
Công thức cộng lượng giác: $\tan \left( a-b \right)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+~\tan a\tan b}\text{ }$
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si để tìm cực trị.
Công suất tiêu thụ của đoạn mạch điện: $P=\dfrac{{{U}^{2}}R}{{{Z}^{2}}}$
Cách giải:
Từ đồ thị ta thấy với ${{L}_{0}}=\dfrac{2}{\pi }\left( H \right)\Rightarrow {{Z}_{L0}}=2\pi f{{L}_{0}}=2\pi .50.\dfrac{\pi }{2}=200\left( \Omega \right),$ độ lệch pha giữa ${{u}_{MB}}$ và ${{u}_{AB}}$
lớn nhất là: ${{\left( \tan \varphi \right)}_{max}}=\dfrac{3}{4}$
$\Rightarrow \tan \left( {{\varphi }_{MB}}-{{\varphi }_{AB}} \right)~=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \dfrac{\tan {{\varphi }_{MB}}-\tan {{\varphi }_{AB}}}{1+\tan {{\varphi }_{MB}}.\tan {{\varphi }_{AB}}}=\dfrac{3}{4}.$
$\Rightarrow \dfrac{\dfrac{{{Z}_{L0}}}{r}-\dfrac{{{Z}_{L0}}}{R+r}}{1+\dfrac{{{Z}_{L0}}}{r}.\dfrac{{{Z}_{L0}}}{R+r}}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \dfrac{{{Z}_{L0}}.R}{r\left( R+r \right)+{{Z}_{L0}}^{2}}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \dfrac{R}{\dfrac{r\left( R+r \right)}{{{Z}_{L0}}}+{{Z}_{L0}}}=\dfrac{3}{4}$
$\Rightarrow {{\left( \tan \varphi \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \left( \dfrac{r\left( R+r \right)}{{{Z}_{L0}}}+{{Z}_{L0}} \right)\min $
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:
$\dfrac{r\left( R+r \right)}{{{Z}_{L0}}}+{{Z}_{L0}}\ge 2\sqrt{r\left( R+r \right)}$ (dấu"=" xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{r\left( R+r \right)}{{{Z}_{L0}}}={{Z}_{L0}}\Rightarrow r\left( R+r \right)={{Z}_{L0}}^{2}={{200}^{2}}$ )
$\Rightarrow {{\left( \tan \varphi \right)}_{\max }}=\dfrac{R}{2\sqrt{r\left( R+r \right)}}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \dfrac{R}{2\sqrt{{{200}^{2}}}}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow R=300\left( \Omega \right)$
$\Rightarrow r\left( 300+r \right)={{200}^{2}}\Rightarrow {{r}^{2}}+300r-{{200}^{2}}=0\Rightarrow r=100\left( \Omega \right)$
Khi $L=\dfrac{1}{\pi }H\Rightarrow {{Z}_{L}}=2\pi fL=2\pi .50.\dfrac{1}{\pi }=100\left( \Omega \right),$ công suất tiêu thụ của cuộn dây là:
$P=\dfrac{{{U}^{2}}r}{Z_{L}^{2}+{{\left( R+r \right)}^{2}}}=\dfrac{{{200}^{2}}.100}{{{100}^{2}}+{{\left( 300+~100 \right)}^{2}}}=23,53\left( W \right)~$
Cảm kháng của cuộn dây: ${{Z}_{L}}=2\pi fL$
Độ lệch pha của hiệu điện thế và cường độ dòng điện: $\tan \varphi =\dfrac{{{Z}_{L}}}{R+r}$
Công thức cộng lượng giác: $\tan \left( a-b \right)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+~\tan a\tan b}\text{ }$
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si để tìm cực trị.
Công suất tiêu thụ của đoạn mạch điện: $P=\dfrac{{{U}^{2}}R}{{{Z}^{2}}}$
Cách giải:
Từ đồ thị ta thấy với ${{L}_{0}}=\dfrac{2}{\pi }\left( H \right)\Rightarrow {{Z}_{L0}}=2\pi f{{L}_{0}}=2\pi .50.\dfrac{\pi }{2}=200\left( \Omega \right),$ độ lệch pha giữa ${{u}_{MB}}$ và ${{u}_{AB}}$
lớn nhất là: ${{\left( \tan \varphi \right)}_{max}}=\dfrac{3}{4}$
$\Rightarrow \tan \left( {{\varphi }_{MB}}-{{\varphi }_{AB}} \right)~=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \dfrac{\tan {{\varphi }_{MB}}-\tan {{\varphi }_{AB}}}{1+\tan {{\varphi }_{MB}}.\tan {{\varphi }_{AB}}}=\dfrac{3}{4}.$
$\Rightarrow \dfrac{\dfrac{{{Z}_{L0}}}{r}-\dfrac{{{Z}_{L0}}}{R+r}}{1+\dfrac{{{Z}_{L0}}}{r}.\dfrac{{{Z}_{L0}}}{R+r}}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \dfrac{{{Z}_{L0}}.R}{r\left( R+r \right)+{{Z}_{L0}}^{2}}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \dfrac{R}{\dfrac{r\left( R+r \right)}{{{Z}_{L0}}}+{{Z}_{L0}}}=\dfrac{3}{4}$
$\Rightarrow {{\left( \tan \varphi \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \left( \dfrac{r\left( R+r \right)}{{{Z}_{L0}}}+{{Z}_{L0}} \right)\min $
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:
$\dfrac{r\left( R+r \right)}{{{Z}_{L0}}}+{{Z}_{L0}}\ge 2\sqrt{r\left( R+r \right)}$ (dấu"=" xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{r\left( R+r \right)}{{{Z}_{L0}}}={{Z}_{L0}}\Rightarrow r\left( R+r \right)={{Z}_{L0}}^{2}={{200}^{2}}$ )
$\Rightarrow {{\left( \tan \varphi \right)}_{\max }}=\dfrac{R}{2\sqrt{r\left( R+r \right)}}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \dfrac{R}{2\sqrt{{{200}^{2}}}}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow R=300\left( \Omega \right)$
$\Rightarrow r\left( 300+r \right)={{200}^{2}}\Rightarrow {{r}^{2}}+300r-{{200}^{2}}=0\Rightarrow r=100\left( \Omega \right)$
Khi $L=\dfrac{1}{\pi }H\Rightarrow {{Z}_{L}}=2\pi fL=2\pi .50.\dfrac{1}{\pi }=100\left( \Omega \right),$ công suất tiêu thụ của cuộn dây là:
$P=\dfrac{{{U}^{2}}r}{Z_{L}^{2}+{{\left( R+r \right)}^{2}}}=\dfrac{{{200}^{2}}.100}{{{100}^{2}}+{{\left( 300+~100 \right)}^{2}}}=23,53\left( W \right)~$
Đáp án A.