Google
Câu hỏi: Mạch điện AB gồm đoạn AM và đoạn MB mắc nối tiếp. Điện áp ở hai đầu mạch ổn định $u=220\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t \right)$ (V). Điện áp ở hai đầu đoạn AM sớm pha hơn cường độ dòng điện một góc $30{}^\circ $. Đoạn MB chỉ có một tụ điện có điện dung C thay đổi được. Chỉnh C để tổng điện áp hiệu dụng UAM + UMB có giá trị lớn nhất. Khi đó điện áp hiệu dụng ở hai đầu tụ điện là
A. 440 V
B. 220 V
C. 220 $\sqrt{2}$ V
D. 220 $\sqrt{3}$ V
+ Vẽ giản đồ véc tơ như hình vẽ
+ Đặt $Y={{\left( {{U}_{AM}}+{{U}_{MB}} \right)}^{2}}$
+ Tổng $\left( {{U}_{AM}}+{{U}_{MB}} \right)$ đạt giá trị cực đại khi Y đạt giá trị cực đại:
$Y={{\left( {{U}_{AM}}+{{U}_{MB}} \right)}^{2}}={{\left( {{U}_{AM}}+{{U}_{C}} \right)}^{2}}=U_{AM}^{2}+U_{C}^{2}+2{{U}_{AM}}{{U}_{C}}$ (1)
Mặt khác theo giản đồ ta có:
${{U}^{2}}=U_{AM}^{2}+U_{C}^{2}-2{{U}_{AM}}{{U}_{C}}\cos 60{}^\circ =U_{AM}^{2}+U_{C}^{2}-{{U}_{AM}}{{U}_{C}}$ (2)
$\Rightarrow {{Z}^{2}}=Z_{AM}^{2}+Z_{C}^{2}-{{Z}_{AM}}{{Z}_{C}}$
Thay (2) vào (1) ta được: $Y={{U}^{2}}+3{{U}_{AM}}{{U}_{C}}$ (4)
Ta có:
$Y={{Y}_{\max }} khi X={{U}_{AM}}{{U}_{C}}$ có giá trị lớn nhất $X={{X}_{\max }}$
$X={{U}_{AM}}{{U}_{C}}={{I}^{2}}{{Z}_{AM}}.{{Z}_{C}}=\dfrac{{{U}^{2}}{{Z}_{AM}}.{{Z}_{C}}}{{{Z}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}{{Z}_{AM}}}{\dfrac{Z_{AM}^{2}+Z_{C}^{2}-{{Z}_{AM}}{{Z}_{C}}}{{{Z}_{C}}}}=\dfrac{{{U}^{2}}{{Z}_{AM}}}{{{Z}_{C}}+\dfrac{Z_{AM}^{2}}{{{Z}_{C}}}-{{Z}_{AM}}}$
$X={{X}_{\max }}$ khi mẫu số cực tiểu, suy ra: ${{Z}_{C}}={{Z}_{AM}}\Rightarrow X={{U}^{5}}$ (5) và ${{U}_{C}}={{U}_{AM}}$
+ Từ (4) và (5):
$Y={{({{U}_{AM}}+{{U}_{C}})}^{2}}={{U}^{2}}+3{{U}^{2}}=4{{U}^{2}}\Rightarrow {{U}_{AM}}+{{U}_{C}}=2U\Rightarrow 2{{U}_{C}}=2U$
${{U}_{C}}=U=220V$
A. 440 V
B. 220 V
C. 220 $\sqrt{2}$ V
D. 220 $\sqrt{3}$ V
+ Vẽ giản đồ véc tơ như hình vẽ
+ Đặt $Y={{\left( {{U}_{AM}}+{{U}_{MB}} \right)}^{2}}$
+ Tổng $\left( {{U}_{AM}}+{{U}_{MB}} \right)$ đạt giá trị cực đại khi Y đạt giá trị cực đại:
$Y={{\left( {{U}_{AM}}+{{U}_{MB}} \right)}^{2}}={{\left( {{U}_{AM}}+{{U}_{C}} \right)}^{2}}=U_{AM}^{2}+U_{C}^{2}+2{{U}_{AM}}{{U}_{C}}$ (1)
Mặt khác theo giản đồ ta có:
${{U}^{2}}=U_{AM}^{2}+U_{C}^{2}-2{{U}_{AM}}{{U}_{C}}\cos 60{}^\circ =U_{AM}^{2}+U_{C}^{2}-{{U}_{AM}}{{U}_{C}}$ (2)
$\Rightarrow {{Z}^{2}}=Z_{AM}^{2}+Z_{C}^{2}-{{Z}_{AM}}{{Z}_{C}}$
Thay (2) vào (1) ta được: $Y={{U}^{2}}+3{{U}_{AM}}{{U}_{C}}$ (4)
Ta có:
$Y={{Y}_{\max }} khi X={{U}_{AM}}{{U}_{C}}$ có giá trị lớn nhất $X={{X}_{\max }}$
$X={{U}_{AM}}{{U}_{C}}={{I}^{2}}{{Z}_{AM}}.{{Z}_{C}}=\dfrac{{{U}^{2}}{{Z}_{AM}}.{{Z}_{C}}}{{{Z}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}{{Z}_{AM}}}{\dfrac{Z_{AM}^{2}+Z_{C}^{2}-{{Z}_{AM}}{{Z}_{C}}}{{{Z}_{C}}}}=\dfrac{{{U}^{2}}{{Z}_{AM}}}{{{Z}_{C}}+\dfrac{Z_{AM}^{2}}{{{Z}_{C}}}-{{Z}_{AM}}}$
$X={{X}_{\max }}$ khi mẫu số cực tiểu, suy ra: ${{Z}_{C}}={{Z}_{AM}}\Rightarrow X={{U}^{5}}$ (5) và ${{U}_{C}}={{U}_{AM}}$
+ Từ (4) và (5):
$Y={{({{U}_{AM}}+{{U}_{C}})}^{2}}={{U}^{2}}+3{{U}^{2}}=4{{U}^{2}}\Rightarrow {{U}_{AM}}+{{U}_{C}}=2U\Rightarrow 2{{U}_{C}}=2U$
${{U}_{C}}=U=220V$
Đáp án C.