Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto - SGK Toán 10 Kết nối tri thức

1. GÓC GIỮA HAI VECTO
Cho hai vecto $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ khác $\overrightarrow{0}$. Góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ , kí hiệu $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$
a) Cách xác định góc: Chọn điểm A bất kì, vẽ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$. Khi đó $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\widehat{BAC}$.

b) Các trường hợp đặc biệt:
+) $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{0}\right)=\alpha$ tùy ý, với $0^{\circ }\le \alpha \le {180}^{\circ }$
+) $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)={90}^{\circ }\iff \overrightarrow{u}\mathrm{\perp }\overrightarrow{v}$ hoặc $\overrightarrow{v}\mathrm{\perp }\overrightarrow{u}$. Đặc biệt: $\overrightarrow{0}\mathrm{\perp }\overrightarrow{u}\mathrm{\forall }\overrightarrow{u}$
+) $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=0^{\circ }\iff \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng hướng
+) $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)={180}^{\circ }\iff \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ ngược hướng
2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO
+) Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$
+) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\iff \overrightarrow{u}\mathrm{\perp }\overrightarrow{v}$
+) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}={\overrightarrow{u}}^2=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{u}\right|.\cos 0^{\circ }={\left|\overrightarrow{u}\right|}^2$
3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
a) Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Cho $\overrightarrow{u}(x;y)$ và $\overrightarrow{v}=(x^{\prime };y^{\prime })$.
Khi đó $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$
Hệ quả:
+) $\overrightarrow{u}\mathrm{\perp }\overrightarrow{v}\iff x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }=0$
+) ${\overrightarrow{u}}^2=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=x.x+y.y=x^2+y^2$
+) Tìm góc giữa hai vecto: $\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}=\frac{x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x{}^{\prime 2}+y{}^{\prime 2}}}$
b) Công thức tính tích vô hướng khi biết độ dài:
Theo định lí cosin: $\cos \widehat{BAC}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos \widehat{BAC}=A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2$
c) Tính chất
Cho 3 vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ bất kì và mọi số thực k, ta có:
$\begin{array}{l}\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}\\ \overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}\\ \left(k\overrightarrow{u}\right).\overrightarrow{v}=k.\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)=\overrightarrow{u}.\left(k\overrightarrow{v}\right)\end{array}$
Hệ quả
$\begin{array}{l}\overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}\\ {\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+{\overrightarrow{v}}^2;{\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+{\overrightarrow{v}}^2\\ \left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right)={\overrightarrow{u}}^2-{\overrightarrow{v}}^2\end{array}$