Lý thuyết quy tắc đếm

Câu hỏi: 1. Quy tắc cộng
Quy tắc:
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có \(m\) cách thực hiện, hành động kia có \(n\) cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có \(m + n\) cách thực hiện.
Đặc biệt: Nếu \(A\) và \(B\) là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của \(A \cup B\) bằng tổng số phần tử của \(A\) và của \(B\), tức là:
\(n\left( {A \cup B} \right) = n\left(A \right) + n\left(B \right)\)
Ví dụ: Đi từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh có thể đi bằng ô tô, tàu hỏa, máy bay. Biết có \(10\) chuyến ô tô, \(2\) chuyến tàu hỏa và \(1\) chuyến máy bay có thể vào được TP. Hồ Chí Minh. Số cách có thể đi để vào TP. Hồ Chí Minh từ Hà Nội là:
Hướng dẫn:
Có \(3\) phương án đi từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh là: ô tô, tàu hỏa, máy bay.
- Có \(10\) cách đi bằng ô tô (vì có \(10\) chuyến).
- Có \(2\) cách đi bằng tàu hỏa (vì có \(2\) chuyến).
- Có \(1\) cách đi bằng máy bay (vì có \(1\) chuyến).
Vậy có tất cả \(10 + 2 + 1 = 13\) cách đi từ HN và TP. HCM.
2. Quy tắc nhân
Quy tắc:
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có \(m\) cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có \(n\) cách thực hiện hành động thứ hai thì có \(m. N\) cách hoàn thành công việc.
Ví dụ: Mai muốn đặt mật khẩu nhà có \(4\) chữ số. Chữ số đầu tiên là một trong \(3\) chữ số \(1; 2; 0\), chữ số thứ hai là một trong \(3\) chữ số \(6; 4; 3\), chữ số thứ ba là một trong \(4\) chữ số \(9; 1; 4; 6\) và chữ số thứ tư là một trong \(4\) chữ số \(8; 6; 5; 4\). Có bao nhiêu cách để Mai đặt mật khẩu nhà?
Hướng dẫn:
Việc đặt mật khẩu nhà có \(4\) công đoạn (từ chữ số đầu tiên đến chữ số cuối cùng).
- Có \(3\) cách thực hiện công đoạn 1 (ứng với \(3\) cách chọn chữ số đầu tiên).
- Có \(3\) cách thực hiện công đoạn 2 (ứng với \(3\) cách chọn chữ số thứ hai).
- Có \(4\) cách thực hiện công đoạn 3 (ứng với \(4\) cách chọn chữ số thứ ba).
- Có \(4\) cách thực hiện công đoạn 4 (ứng với \(4\) cách chọn chữ số thứ tư).
Vậy có tất cả \(3.3.4.4 = 144\) cách để Mai đặt mật khẩu nhà.