Lý thuyết giá trị lượng giác của một cung

Câu hỏi: 1. Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác cho cung \(\overparen{AM}\) có số đo \(sđ\overparen{AOM}= α\) thì:
+ Tung độ của \(M\) gọi là \(\sin\) của \(α\), kí hiệu \(\sin α\): \(\overline {OQ}= \sinα\)
+ Hoành độ của \(M\) gọi là cosin của \(α\), kí hiệu là \(\cosα\): \(\overline {OP}= \cosα\)
+ Nếu \(cosα \ne 0\), ta gọi là tang của \(α\), kí hiệu \(tanα\) là tỉ số: \({{\sin \alpha } \over {cos\alpha }} = \tan \alpha \)
+ Nếu \(\sinα \ne 0\), ta gọi là cotang của \(α\), kí hiệu là: \({{{\rm{cos}}\alpha } \over {\sin \alpha }} = \cot \alpha \)
Ghi chú: Vì \(sđ\overparen{AM} =sđ\overparen{(OA, OM)}\) nên định nghĩa các giá trị lượng giác của cung lượng giác \(α\) cũng là giá trị lượng giác của góc lượng giác \(α\).
2. Hệ quả
a) \(-1 ≤ sinα ≤ 1, -1 ≤ cosα ≤ 1 ;\)\(∀α \in\mathbb R\)
\(\sin(α + k2π) = \sinα ;∀k \in \mathbb R\)
\(cos(α + k2π) = cosα ,∀k \in\mathbb R\)
b) \(tanα\) xác định với mọi \\(α \ne {\pi\over 2} + kπ, k \in\mathbb Z\)
\(cotα\) xác định với mọi \(α \ne kπ, k \in\mathbb Z\)
\(tan(α + kπ) = tanα ,∀k\in\mathbb R\)
\(cot(α + kπ) = cotα ,∀k \in\mathbb R\)
c) Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

D) Các hệ thức lượng giác cơ bản:
\(si{n^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}1\);
\(tanα. Cotα = 1\)
\(1 + {\tan ^2}\alpha = {1 \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}\)
\(1 + {\cot ^2}\alpha = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}\)
3. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a) Cung đối nhau: \(α\) và \((-α)\)
\(sin(-α) = -sinα \) \( tan(-α) = -tanα\)
\(cos(-α) = cosα\) \(cot(-α) = -cotα\)
b) Cung bù nhau: \(α\) và \(π - α\)
\(sin(π - α) = sinα\) \(tan(π - α) = -tanα\)
\(cos(π - α) = -cosα\) \(cot(π - α) = -cotα\)
c) Cung hơn nhau \(π\): \(α\) và \(π + α\)
\(sin(π + α) = -sinα\) \(tan(π + α) = tanα\)
\(cos(π + α) = -cosα\) \(cot(π + α) = cotα\)
d) Cung phụ nhau: \(α\) và \({\pi \over 2} - \alpha \)
\(sin\left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right) = cosα\) \(tan\left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right)= cosα\)
\(cos \left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right) = sinα \) \(cos=\left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right) = tan α\)