Google
Câu hỏi: Kí hiệu $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2\left( x-1 \right){{e}^{x}},$ trục tung và trục hoành. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay thu được khi quay hình $\left( H \right)$ xung quanh trục $Ox.$
A. $V=4-2e$.
B. $V=\left( 4-2e \right)\pi $.
C. $V=\left( {{e}^{2}}-5 \right)\pi $.
D. $V={{e}^{2}}-5$.
A. $V=4-2e$.
B. $V=\left( 4-2e \right)\pi $.
C. $V=\left( {{e}^{2}}-5 \right)\pi $.
D. $V={{e}^{2}}-5$.
$2\left( x-1 \right){{e}^{x}}=0\Leftrightarrow x=1.$
$V=\pi {{\int\limits_{0}^{1}{\left[ 2\left( x-1 \right){{e}^{x}} \right]}}^{2}}dx=4\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{{e}^{2x}}dx$
$=4\pi \left[ \left. \left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}.\dfrac{1}{2}{{e}^{2x}} \right] \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\left( x-1 \right)}{{e}^{2x}}dx \right]=4\pi \left[ -\dfrac{1}{2}-\left. \left( x-1 \right)\dfrac{1}{2}{{e}^{2x}} \right|_{0}^{1}+\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{2x}}dx} \right]$
$=4\pi \left( -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+\left. \dfrac{1}{4}{{e}^{2x}} \right|_{0}^{1} \right)=4\pi \left( -1+\dfrac{1}{4}{{e}^{2}}-\dfrac{1}{4} \right)=\pi \left( {{e}^{2}}-5 \right).$
$V=\pi {{\int\limits_{0}^{1}{\left[ 2\left( x-1 \right){{e}^{x}} \right]}}^{2}}dx=4\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{{e}^{2x}}dx$
$=4\pi \left[ \left. \left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}.\dfrac{1}{2}{{e}^{2x}} \right] \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\left( x-1 \right)}{{e}^{2x}}dx \right]=4\pi \left[ -\dfrac{1}{2}-\left. \left( x-1 \right)\dfrac{1}{2}{{e}^{2x}} \right|_{0}^{1}+\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{2x}}dx} \right]$
$=4\pi \left( -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+\left. \dfrac{1}{4}{{e}^{2x}} \right|_{0}^{1} \right)=4\pi \left( -1+\dfrac{1}{4}{{e}^{2}}-\dfrac{1}{4} \right)=\pi \left( {{e}^{2}}-5 \right).$
Đáp án C.