Google
Câu hỏi: Khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác vuông tại A, $AB=a,AC=a\sqrt{2}$. Góc giữa cạnh bên và đáy là $30{}^\circ $.và ${A}'A=A'B=A'C.$ Thể tích của khối lăng trụ đã cho là
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
Phương pháp:
- Dựa vào đề bài để tìm đường cao của khối lăng trụ.
- Áp dụng công thức tính thể tích.
Cách giải:
Gọi Hlà trung điểm của BC ,vì tam giác ABCvuông tại
$A\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ .
Mà $A'A=A'B=A'C\Rightarrow A'H\bot \left( ABC \right)$ .
$\Rightarrow \left( A'A;\left( ABC \right) \right)=\left( A'A;HA \right)=\angle A'AH={{30}^{0}}$
$\Delta ABC$ vuông tại $A\Rightarrow BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=a\sqrt{3}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Xét $\Delta A'AH$ vuông tại Hcó $\angle A'AH={{30}^{0}}$
$\Rightarrow A'H=\tan {{30}^{0}}.AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{a}{2}$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}$
$$Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'H.{{S}_{ABC}}=\frac{a}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$
- Dựa vào đề bài để tìm đường cao của khối lăng trụ.
- Áp dụng công thức tính thể tích.
Cách giải:
Gọi Hlà trung điểm của BC ,vì tam giác ABCvuông tại
$A\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ .
Mà $A'A=A'B=A'C\Rightarrow A'H\bot \left( ABC \right)$ .
$\Rightarrow \left( A'A;\left( ABC \right) \right)=\left( A'A;HA \right)=\angle A'AH={{30}^{0}}$
$\Delta ABC$ vuông tại $A\Rightarrow BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=a\sqrt{3}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Xét $\Delta A'AH$ vuông tại Hcó $\angle A'AH={{30}^{0}}$
$\Rightarrow A'H=\tan {{30}^{0}}.AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{a}{2}$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}$
$$Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'H.{{S}_{ABC}}=\frac{a}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$
Đáp án C.