Kết luận nào sau đây và hàm số $y=\log (x-1)$ là sai?

Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tính đạo hàm: ${(\log u)}^{\prime }={\displaystyle \frac{u^{\prime }}{u\ln 10}}$.
- Sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: Đường thẳng $x=x_0$ được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\underset{x\Rightarrow x_0^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty };\underset{x\Rightarrow x_0^{+}}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\Rightarrow x_0^{-}}{lim}y=+\mathrm{\infty };\underset{x\Rightarrow x_0^{-}}{lim}y=-\mathrm{\infty }$.
- Xét dấu $y^{\prime }$ và suy ra các khoảng đơn điệu.
Giải chi tiết:
TXĐ: $D=(1;+\mathrm{\infty })$
Ta có $y=\log (x-1)\Rightarrow y^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{(x-1)\ln 10}}$. Suy ra đáp án D đúng, đáp án C sai.
Vì $x-1>0\Rightarrow y^{\prime }>0\mathrm{\forall }x\in D$, do đó hàm số đồng biến trên $(1;+\mathrm{\infty })$, suy ra đáp án B đúng.
Ta có: $\underset{x\Rightarrow 1^{+}}{lim}y=-\mathrm{\infty }$ nên ĐTHS nhận $x=1$ là TCĐ, suy ra đáp án A đúng.