Google
Câu hỏi: Kết luận nào sau đây và hàm số $y=\log \left( x-1 \right)$ là sai?
A. Đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng có phương trình $x=1$.
B. Đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.
C. ${y}'=\dfrac{1}{\left( x-1 \right)\log e}$
D. ${y}'=\dfrac{1}{\left( x-1 \right)\ln 10}$
A. Đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng có phương trình $x=1$.
B. Đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.
C. ${y}'=\dfrac{1}{\left( x-1 \right)\log e}$
D. ${y}'=\dfrac{1}{\left( x-1 \right)\ln 10}$
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tính đạo hàm: ${{\left( \log u \right)}^{\prime }}=\dfrac{{{u}'}}{u\ln 10}$.
- Sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: Đường thẳng $x={{x}_{0}}$ được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\underset{x\Rightarrow x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }} y=+\infty ;\underset{x\Rightarrow x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }} y=-\infty ;\underset{x\Rightarrow x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }} y=+\infty ;\underset{x\Rightarrow x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }} y=-\infty $.
- Xét dấu ${y}'$ và suy ra các khoảng đơn điệu.
Giải chi tiết:
TXĐ: $D=\left( 1;+\infty \right)$
Ta có $y=\log \left( x-1 \right)\Rightarrow {y}'=\dfrac{1}{\left( x-1 \right)\ln 10}$. Suy ra đáp án D đúng, đáp án C sai.
Vì $x-1>0\Rightarrow {y}'>0\forall x\in D$, do đó hàm số đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$, suy ra đáp án B đúng.
Ta có: $\underset{x\Rightarrow {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=-\infty $ nên ĐTHS nhận $x=1$ là TCĐ, suy ra đáp án A đúng.
- Sử dụng công thức tính đạo hàm: ${{\left( \log u \right)}^{\prime }}=\dfrac{{{u}'}}{u\ln 10}$.
- Sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: Đường thẳng $x={{x}_{0}}$ được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\underset{x\Rightarrow x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }} y=+\infty ;\underset{x\Rightarrow x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }} y=-\infty ;\underset{x\Rightarrow x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }} y=+\infty ;\underset{x\Rightarrow x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }} y=-\infty $.
- Xét dấu ${y}'$ và suy ra các khoảng đơn điệu.
Giải chi tiết:
TXĐ: $D=\left( 1;+\infty \right)$
Ta có $y=\log \left( x-1 \right)\Rightarrow {y}'=\dfrac{1}{\left( x-1 \right)\ln 10}$. Suy ra đáp án D đúng, đáp án C sai.
Vì $x-1>0\Rightarrow {y}'>0\forall x\in D$, do đó hàm số đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$, suy ra đáp án B đúng.
Ta có: $\underset{x\Rightarrow {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=-\infty $ nên ĐTHS nhận $x=1$ là TCĐ, suy ra đáp án A đúng.
Đáp án C.