Google
Câu hỏi: Kết luận nào sau đây đúng về hàm số $f\left( x \right)={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{2}}}}$ ?
A. ${f}'\left( x \right)=-2{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{2}}}}.\ln 2$
B. nghịch biến trên $\mathbb{R}$
C. $f\left( 0 \right)=0$
D. đồ thị nhận trục tung làm tiệm cận ngang.
A. ${f}'\left( x \right)=-2{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{2}}}}.\ln 2$
B. nghịch biến trên $\mathbb{R}$
C. $f\left( 0 \right)=0$
D. đồ thị nhận trục tung làm tiệm cận ngang.
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tính đạo hàm: ${{\left( {{a}^{u}} \right)}^{\prime }}={u}'.{{a}^{u}}\ln a$.
- Xét dấu đạo hàm và suy ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
- Sử dụng định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Giải chi tiết:
Ta có $f\left( x \right)={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{2}}}}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=2x.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{2}}}}\ln \dfrac{1}{2}={f}'\left( x \right)=-2x{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{2}}}}.\ln 2$ nên đáp án A sai.
Xét ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$, do đó hàm số không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$, suy ra đáp án B sai.
Ta có $f\left( 0 \right)={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{0}}=1$ nên đáp án C sai.
Ta có: $\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} {{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{2}}}}=0$ nên ĐTHS nhận $y=0$ là TCN. Suy ra đáp án D đúng.
- Sử dụng công thức tính đạo hàm: ${{\left( {{a}^{u}} \right)}^{\prime }}={u}'.{{a}^{u}}\ln a$.
- Xét dấu đạo hàm và suy ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
- Sử dụng định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Giải chi tiết:
Ta có $f\left( x \right)={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{2}}}}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=2x.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{2}}}}\ln \dfrac{1}{2}={f}'\left( x \right)=-2x{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{2}}}}.\ln 2$ nên đáp án A sai.
Xét ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$, do đó hàm số không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$, suy ra đáp án B sai.
Ta có $f\left( 0 \right)={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{0}}=1$ nên đáp án C sai.
Ta có: $\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} {{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{2}}}}=0$ nên ĐTHS nhận $y=0$ là TCN. Suy ra đáp án D đúng.
Đáp án D.