Google
Câu hỏi: Họ nguyên hàm $\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{{{x}^{2}}+2x+3}{x+1}dx}$ bằng
A. $\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-2\ln \left| x+1 \right|+C$
B. $\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+C$
C. $\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x+2\ln \left| x+1 \right|+C$
D. ${{x}^{2}}+x+2\ln \left| x+1 \right|+C$
A. $\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-2\ln \left| x+1 \right|+C$
B. $\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+C$
C. $\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x+2\ln \left| x+1 \right|+C$
D. ${{x}^{2}}+x+2\ln \left| x+1 \right|+C$
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm của hàm số hữu tỷ có bậc tử cao hơn bậc mẫu, ta chia cho mẫu sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm của hàm số cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm số.
Cách giải:
$\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{{{x}^{2}}+2x+3}{x+1}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{{{x}^{2}}+2x+1+2}{x+1}dx}$
$=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+2}{x+1}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( x+1 \right)dx}+\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{2}{x+1}dx}$
$=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x+2\ln \left| x+1 \right|+C.$
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm của hàm số hữu tỷ có bậc tử cao hơn bậc mẫu, ta chia cho mẫu sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm của hàm số cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm số.
Cách giải:
$\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{{{x}^{2}}+2x+3}{x+1}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{{{x}^{2}}+2x+1+2}{x+1}dx}$
$=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+2}{x+1}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( x+1 \right)dx}+\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{2}{x+1}dx}$
$=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x+2\ln \left| x+1 \right|+C.$
Đáp án C.