Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}.$ Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để phương trình...

Phương pháp:
- Giải phương trình chứa căn: $\sqrt{f\left( x \right)}=\sqrt{g\left( x \right)}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)\ge 0 \\
& f\left( x \right)=g\left( x \right) \\
\end{aligned} \right..$
- Cô lập $m,$ đưa phương trình về dạng $f\left( x \right)=m\forall x\in \left[ a;b \right].$
- Vẽ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ trên $\left[ a;b \right]$ và tìm $m.$
Cách giải:
Ta có: $\sqrt{3{{x}^{2}}-3}=\sqrt{m-{{x}^{3}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}\ge 1 \\
& 3{{x}^{2}}-3=m-{{x}^{3}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& x\ge 1 \\
& x\le -1 \\
\end{aligned} \right. \\
& {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}=m+3 \\
\end{aligned} \right.$
Từ đó ta vẽ đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$ trên $\left( -\infty ;-1 \right]\cup \left[ 1;+\infty \right)$ (đường màu đỏ).

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $d:y=m+3$ cắt phần đồ thị màu đỏ tại 2 điểm phân biệt $\Rightarrow 2\le m+3\le 4\Leftrightarrow -1\le m\le 1.$