Google
Câu hỏi: Hình nón $\mathscr{N}$ có đỉnh $S$, tâm đường tròn đáy là $O$, góc ở đỉnh bằng $120^{\circ}$. Một mặt phẳng qua $S$ cắt hình nón $\mathscr{N}$ theo thiết diện là tam giác vuông $SAB$. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SO$ bằng 3 . Tính diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình nón $\mathscr{N}$.
A. $S_{x q}=36 \sqrt{3} \pi$.
B. $S_{x q}=18 \sqrt{3} \pi$.
C. $S_{x q}=27 \sqrt{3} \pi$.
D. $S_{x q}=9 \sqrt{3} \pi$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB\Rightarrow OI$ là đoạn vuông góc chung của $SO,AB$
Gọi $r$ là bán kính đáy của hình nón, $l$ là độ dài đường sinh. $\left\{ \begin{aligned}
& O\in CD \\
& CD//AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{CSD}={{120}^{0}}$.
Do góc ở đỉnh bằng ${{120}^{{}^\circ }}\Rightarrow \dfrac{CD}{\sin {{120}^{0}}}=\dfrac{l}{\sin {{30}^{0}}}\Rightarrow r=\dfrac{\sqrt{3}l}{2}$
Do tam giác $SAB$ vuông nên ta có $A{{B}^{2}}=2{{l}^{2}}\Rightarrow AB=\sqrt{2}.l$. Tam giác $OIB$ vuông tại $I\Rightarrow O{{B}^{2}}=O{{I}^{2}}+I{{B}^{2}}$
Mà $r=\dfrac{\sqrt{3}}{2}l$ ta được ${{\dfrac{3l}{4}}^{2}}=9+\dfrac{{{l}^{2}}}{2}\Rightarrow {{l}^{2}}=36\Rightarrow l=6\Rightarrow r=3\sqrt{3}\Rightarrow {{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .3\sqrt{3}.6=18\sqrt{3}\pi $
A. $S_{x q}=36 \sqrt{3} \pi$.
B. $S_{x q}=18 \sqrt{3} \pi$.
C. $S_{x q}=27 \sqrt{3} \pi$.
D. $S_{x q}=9 \sqrt{3} \pi$.
Gọi $r$ là bán kính đáy của hình nón, $l$ là độ dài đường sinh. $\left\{ \begin{aligned}
& O\in CD \\
& CD//AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{CSD}={{120}^{0}}$.
Do góc ở đỉnh bằng ${{120}^{{}^\circ }}\Rightarrow \dfrac{CD}{\sin {{120}^{0}}}=\dfrac{l}{\sin {{30}^{0}}}\Rightarrow r=\dfrac{\sqrt{3}l}{2}$
Do tam giác $SAB$ vuông nên ta có $A{{B}^{2}}=2{{l}^{2}}\Rightarrow AB=\sqrt{2}.l$. Tam giác $OIB$ vuông tại $I\Rightarrow O{{B}^{2}}=O{{I}^{2}}+I{{B}^{2}}$
Mà $r=\dfrac{\sqrt{3}}{2}l$ ta được ${{\dfrac{3l}{4}}^{2}}=9+\dfrac{{{l}^{2}}}{2}\Rightarrow {{l}^{2}}=36\Rightarrow l=6\Rightarrow r=3\sqrt{3}\Rightarrow {{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .3\sqrt{3}.6=18\sqrt{3}\pi $
Đáp án B.