Google
Câu hỏi: Hình lập phương $ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ có cạnh bằng $6.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của cạnh ${{B}_{1}}{{C}_{1}},CD$ và $O,{{O}_{1}}$ lần lượt là tâm các hình vuông $ABCD,{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$. Thể tích tứ diện $MNO{{O}_{1}}$ bằng
A. $9$
B. $12$
C. $18$
D. $27$
A. $9$
B. $12$
C. $18$
D. $27$
Cách 1:
Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của ${{C}_{1}}{{D}_{1}}$ và $BC$ $\Rightarrow {{V}_{ONCF.{{O}_{1}}E{{C}_{1}}M}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}=\dfrac{1}{4}{{.6}^{3}}=54$
Khi đó: ${{V}_{MON{{O}_{1}}}}={{V}_{ONCF.{{O}_{1}}E{{C}_{1}}M}}-{{V}_{M.ONCF}}-{{V}_{N.{{O}_{1}}E{{C}_{1}}M}}-{{V}_{M.NC{{C}_{1}}}}$
${{V}_{M.ONCF.}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4}.{{V}_{ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}=\dfrac{1}{12}{{.6}^{3}}=18$
${{V}_{N.{{O}_{1}}E.{{C}_{1}}M}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4}.{{V}_{ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}=\dfrac{1}{12}{{.6}^{3}}=18$
${{V}_{M.NC{{C}_{1}}}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}.{{V}_{ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}=\dfrac{1}{24}{{.6}^{3}}=9$
Vậy: ${{V}_{MON{{O}_{1}}}}=9$
Cách 2:
Dựng hệ trục như hình vẽ: ${{O}_{1}}\left( 3;3;0 \right),O\left( 3;3;6 \right),M\left( 3;6;0 \right),N\left( 6;3;6 \right)$
Khi đó: $\overrightarrow{O{{O}_{1}}}=\left( 0;0;-6 \right),\overrightarrow{ON}=\left( 3;0;0 \right),\overrightarrow{OM}=\left( 0;3;-6 \right)$
Vậy: ${{V}_{OMN{{O}_{1}}}}=\dfrac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON} \right].\overrightarrow{O{{O}_{1}}} \right|=9$
Khi đó: ${{V}_{MON{{O}_{1}}}}={{V}_{ONCF.{{O}_{1}}E{{C}_{1}}M}}-{{V}_{M.ONCF}}-{{V}_{N.{{O}_{1}}E{{C}_{1}}M}}-{{V}_{M.NC{{C}_{1}}}}$
${{V}_{M.ONCF.}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4}.{{V}_{ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}=\dfrac{1}{12}{{.6}^{3}}=18$
${{V}_{N.{{O}_{1}}E.{{C}_{1}}M}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4}.{{V}_{ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}=\dfrac{1}{12}{{.6}^{3}}=18$
${{V}_{M.NC{{C}_{1}}}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}.{{V}_{ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}=\dfrac{1}{24}{{.6}^{3}}=9$
Vậy: ${{V}_{MON{{O}_{1}}}}=9$
Cách 2:
Khi đó: $\overrightarrow{O{{O}_{1}}}=\left( 0;0;-6 \right),\overrightarrow{ON}=\left( 3;0;0 \right),\overrightarrow{OM}=\left( 0;3;-6 \right)$
Vậy: ${{V}_{OMN{{O}_{1}}}}=\dfrac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON} \right].\overrightarrow{O{{O}_{1}}} \right|=9$
Đáp án A.