Google
Câu hỏi: Hình lăng trụ đứng ${ABC.{A}'{B}'{C}'}$ có đáy ${ABC}$ là tam giác vuông, ${AB=AC=a}$, ${A{A}'=a\sqrt{2}}$. Gọi ${M}$, ${N}$ lần lượt là trung điểm của ${A{A}'}$, ${B{C}'}$. Tính thể tích khối chóp ${B.{A}'MN}$ ?
A. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}}$.
B. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}}$.
C. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}}$.
D. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}}$.
Ta có: ${{V}_{B.A'MN}}={{V}_{N.A'BM}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta A'BM}}.d\left( N;\left( A'BM \right) \right)=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta A'BM}}d\left( N;\left( A'B'BA \right) \right)$
${{S}_{\Delta A'BM}}=\dfrac{1}{2}A'M.BA=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.a=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4}$
Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng nên $AA'\bot A'C'$
Mà $A'C'\bot A'B'\Rightarrow A'C'\left( ABB'A' \right).$
$\Rightarrow d\left( C';\left( ABB'A' \right) \right)=C'A'=a\Rightarrow d\left( N;\left( ABB'A' \right) \right)=\dfrac{1}{2}\text{ d}\left( C';\left( ABB'A' \right) \right)=\dfrac{1}{2}a$
Do đó. ${{V}_{B.A'MN}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta A'BM}}.{{d}_{\left( N;\left( A'B'BA \right) \right)}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4}.\dfrac{1}{2}a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$
A. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}}$.
B. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}}$.
C. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}}$.
D. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}}$.
Ta có: ${{V}_{B.A'MN}}={{V}_{N.A'BM}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta A'BM}}.d\left( N;\left( A'BM \right) \right)=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta A'BM}}d\left( N;\left( A'B'BA \right) \right)$
${{S}_{\Delta A'BM}}=\dfrac{1}{2}A'M.BA=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.a=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4}$
Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng nên $AA'\bot A'C'$
Mà $A'C'\bot A'B'\Rightarrow A'C'\left( ABB'A' \right).$
$\Rightarrow d\left( C';\left( ABB'A' \right) \right)=C'A'=a\Rightarrow d\left( N;\left( ABB'A' \right) \right)=\dfrac{1}{2}\text{ d}\left( C';\left( ABB'A' \right) \right)=\dfrac{1}{2}a$
Do đó. ${{V}_{B.A'MN}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta A'BM}}.{{d}_{\left( N;\left( A'B'BA \right) \right)}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4}.\dfrac{1}{2}a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$
Đáp án A.