Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=3,BC=4,SC=5.$ Tam giác $SAC$ nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $\left( ABCD \right).$...

Kẻ $SH\bot AC\left( H\in AC \right)$ vì $\Delta SAC$ nhọn.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\cap \left( ABCD \right)=AC \\
& SH\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
Kẻ $MB\bot AC\Rightarrow MB\bot \left( SAC \right)\Rightarrow MB\bot SA,\left( 1 \right).$
Ta có $AC=SC=5$ nên $\Delta SAC$ cân tại $C.$
Gọi $E$ là trung điểm của $SA$ nên $SA\bot EC,$ kẻ $MN//EC\left( N\in SA \right)$ nên $SA\bot MN\left( 2 \right).$
Từ (1), (2) suy ra $SA\bot \left( MNB \right)\Rightarrow \widehat{BNM}=\alpha .$
Ta có $\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }=1+{{\tan }^{2}}\alpha \Rightarrow \tan \alpha =\sqrt{\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{3}{\sqrt{29}} \right)}^{2}}}-1}=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}.$
Trong $\Delta ABC:MB=\dfrac{AB.BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}=\dfrac{12}{5},AM=\sqrt{A{{B}^{2}}-M{{B}^{2}}}=\dfrac{9}{5}.$
Trong $\Delta BMN:MN=\dfrac{MB}{\tan \alpha }=\dfrac{18\sqrt{5}}{25}.$
Trong $\Delta SAC:\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{MN}{EC}=\dfrac{\dfrac{9}{5}}{5}=\dfrac{9}{25}$ suy ra $EC=\dfrac{25MN}{9}=2\sqrt{5}.$
Ta có $SA=2SE=2\sqrt{S{{C}^{2}}-E{{C}^{2}}}=2\sqrt{5}$
Và $SH.AC=SA.EC\Leftrightarrow SH=\dfrac{SA.EC}{AC}=\dfrac{2\sqrt{5}.2\sqrt{5}}{5}=4.$
Vậy thể tích khối chóp là $V=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.4.3.4=16.$