Hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình chữ nhật với $A B = 3, B C = 4, S C = 5.$ Tam giác $S A C$ nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(A B C D) .$ ...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Hình chóp

S . A B C D

có đáy là hình chữ nhật với

A B = 3, B C = 4, S C = 5.

Tam giác

S A C

nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

(A B C D) .

Các mặt

(S A B)

và

(S A C)

tạo với nhau một góc

α

và

\cos α = \frac{3}{\sqrt{29}} .

Tính thể tích khối chóp

S . A B C D

A. 20.
B.

15 \sqrt{29} .

C. 16.
D.

18 \sqrt{5} .

Kẻ

S H ⊥ A C (H \in A C)

vì

Δ S A C

nhọn.
Ta có

{\begin{aligned} (S A C) \cap (A B C D) = A C \\ S H ⊥ A C \end{aligned} \Rightarrow S H ⊥ (A B C D) .

Kẻ

M B ⊥ A C \Rightarrow M B ⊥ (S A C) \Rightarrow M B ⊥ S A, (1) .

Ta có

A C = S C = 5

nên

Δ S A C

cân tại

C .

Gọi

E

là trung điểm của

S A

nên

S A ⊥ E C,

kẻ

M N / / E C (N \in S A)

nên

S A ⊥ M N (2) .

Từ (1), (2) suy ra

S A ⊥ (M N B) \Rightarrow \hat{B N M} = α .

Ta có

\frac{1}{\cos^{2} α} = 1 + \tan^{2} α \Rightarrow \tan α = \sqrt{\frac{1}{{(\frac{3}{\sqrt{29}})}^{2}} - 1} = \frac{2 \sqrt{5}}{3} .

Trong

Δ A B C : M B = \frac{A B . B C}{\sqrt{A B^{2} + B C^{2}}} = \frac{12}{5}, A M = \sqrt{A B^{2} - M B^{2}} = \frac{9}{5} .

Trong

Δ B M N : M N = \frac{M B}{\tan α} = \frac{18 \sqrt{5}}{25} .

Trong

Δ S A C : \frac{A M}{A C} = \frac{M N}{E C} = \frac{\frac{9}{5}}{5} = \frac{9}{25}

suy ra

E C = \frac{25 M N}{9} = 2 \sqrt{5} .

Ta có

S A = 2 S E = 2 \sqrt{S C^{2} - E C^{2}} = 2 \sqrt{5}

Và

S H . A C = S A . E C \Leftrightarrow S H = \frac{S A . E C}{A C} = \frac{2 \sqrt{5} .2 \sqrt{5}}{5} = 4.

Vậy thể tích khối chóp là

V = \frac{1}{3} . S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} .4 .3 .4 = 16.

Đáp án C.

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=3,BC=4,SC=5. Tam giác SAC nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD)....